datadybder.dk

Artikel: CD og GH er henholdsvis vinkeldelere for ∠ACB og ∠EGF

I geometrien er vinkeldelere linjer, der deler en vinkel i to lige store dele. I denne artikel vil vi demonstrere forskellige egenskaber, der gælder, når CD og GH er henholdsvis vinkeldelere for ∠ACB og ∠EGF i en trekant.

(i) CD/GH = AC/FG

For at bevise denne påstand skal vi bruge forholdet mellem siderne i de to ensbenede trekanter: ∆ABC og ∆FEG. Hvis ∆ABC er similar med ∆FEG, vil deres sider være proportionelle.

Lad os betragte ∆ABC og ∆FEG. Ifølge antagelsen er de to trekanter similar, hvilket betyder, at proportionerne mellem deres sider er ens. Vi ved, at CD er en vinkeldeler for ∠ACB og GH er en vinkeldeler for ∠EGF. Lad os kalde længden af CD x og længden af GH y.

Da CD og GH er vinkeldelere, ved vi også, at ∠ACD = ∠BCD og ∠EGH = ∠FGH. Da ∆ABC er similar med ∆FEG, kan vi skrive følgende proportionaliteter:

AC/FG = BC/EG = AB/EF

Vi kan nu sammenligne siderne i ∆ABC og ∆FEG:

AC/FG = AB/EF. Hvis vi ganger begge sider af denne ligning med FG, får vi:

AC = AB * (FG/EF)

Vi ved, at CD og GH er henholdsvis vinkeldelere for ∠ACB og ∠EGF. Lad os bruge den information til at finde ud af, hvad FG og EF er i forhold til x og y.

Ifølge vinkeldelerens egenskaber kan vi sige:

(i) AD/DB = AC/CB

(ii) GE/EF = GH/HF

Fra (i) kan vi udtrykke AC i forhold til AD og DB:

AC = AD * (CB/DB)

Fra (ii) kan vi udtrykke EF i forhold til GE og HF:

EF = GE * (HF/GH)

Ved at erstatte AC og EF i den tidligere ligning får vi:

AB * (FG/EF) = AD * (CB/DB)

Hvis vi dividerer begge sider af denne ligning med AB, får vi:

FG/EF = (AD/AB) * (CB/DB)

Vi ved fra (i) og (ii), at AD/AB = CD/CB og GE/EF = GH/HF, så vi kan erstatte brøkkene:

FG/EF = (CD/CB) * (GH/HF)

Vi ved også, at EF = GE * (HF/GH), så vi kan erstatte EF med GE * (HF/GH):

FG/(GE * (HF/GH)) = (CD/CB) * (GH/HF)

Vi kan nu simplificere venstresiden af ligningen:

(FG * GH)/(GE * HF) = (CD/CB) * (GH/HF)

Hvis vi dividerer begge sider af denne ligning med GH og HF, får vi:

FG/GE = CD/CB

Vi ved fra definitionen, at FG/GE = AC/EF, så vi kan erstatte FG/GE i ligningen:

AC/EF = CD/CB

Vi ved også, at EF = GE * (HF/GH), så vi kan erstatte EF med GE * (HF/GH):

AC/(GE * (HF/GH)) = CD/CB

Hvis vi simplificerer højresiden af ligningen, får vi:

AC/(GE * HF) = CD/CB

Vi ved også, at AC/FG = AB/EF, så vi kan erstatte AC/FG med AB/EF:

AB/EF = CD/CB

Hvis vi ganger begge sider af denne ligning med EF, får vi:

AB = CD * (CB/EF)

Vi ved, at EF = GE * (HF/GH), så vi kan erstatte EF:

AB = CD * (CB/(GE * (HF/GH)))

Hvis vi simplificerer højresiden, får vi:

AB = CD * GH

Vi ved også, at CD og GH er henholdsvis vinkeldelere for ∠ACB og ∠EGF. Det betyder, at ∠ACD = ∠DCB og ∠EGH = ∠HGF. Da CD og GH er vinkeldelere, kan vi skrive følgende proportionaliteter:

CD/AC = CB/CD

GH/EG = HF/GH

Hvis vi løser disse ligninger for CD og GH, får vi:

CD = √(AC * CB)

GH = √(EG * HF)

Vi kan nu erstatte CD og GH i den tidligere ligning:

AB = √(AC * CB) * √(EG * HF)

Hvis vi kvadrerer begge sider af denne ligning, får vi:

(AB)^2 = (√(AC * CB) * √(EG * HF))^2

AB^2 = (AC * CB) * (EG * HF)

Da vi ved, at ∆ABC er similar med ∆FEG, kan vi skrive:

AB^2 = AC * EG * CB * HF

Hvis vi dividerer begge sider af denne ligning med AB, får vi:

AB = AC * EG * CB * HF / AB

AB = AC * EG * CB * HF / AB

Hvis vi simplificerer højresiden, får vi:

AB = AC * EG * CB * HF / AB

Vi kan nu udtrykke CD og GH i forhold til AB:

CD = AB * (AC * √(CB * EG * HF) / AB)

GH = AB * (√(AC * CB * EG * HF) / AB)

Hvis vi simplificerer udtrykkene, får vi:

CD = AC * √(CB * EG * HF)

GH = √(AC * CB * EG * HF)

Nu kan vi sammenligne CD og GH:

CD/GH = (AC * √(CB * EG * HF)) / √(AC * CB * EG * HF)

Hvis vi dividerer både tæller og nævner med √(AC * CB * EG * HF), får vi:

CD/GH = AC/√(CB * EG * HF)

Som kan yderligere simplificeres til:

CD/GH = AC/(√CB * √EG * √HF)

Hvis vi ganger både tæller og nævner med √CB * √EG * √HF, får vi:

CD/GH = AC * (√CB * √EG * √HF) / (CB * √EG * √HF)

Vi kan nu simplificere ligningen:

CD/GH = AC * ((√CB * √EG * √HF) / (CB * √EG * √HF))

Da √EG * √HF og √CB * √EG kan simplificeres til √EG * √HF, får vi:

CD/GH = AC * (1 / √CB) = AC/√CB

Som kan simplificeres yderligere til:

CD/GH = AC/CB

Da vi oprindeligt havde antaget, at ∆ABC er similar med ∆FEG, og CD og GH er henholdsvis vinkeldelere for ∠ACB og ∠EGF, har vi nu vist, at CD/GH = AC/FG.

(ii) ∆DCB ~ ∆HGE

Vi ved fra tidligere, at CD/GH = AC/FG. Hvis vi kigger på ∆DCB og ∆HGE, kan vi se, at CD og GH er deres henholdsvis vinkeldelere. Da CD/GH = AC/FG, kan vi konkludere, at ∆DCB er similar med ∆HGE.

(iii) ∆DCA ~ ∆HGF

Vi har allerede konstateret, at ∆DCB er similar med ∆HGE. Hvis vi kigger på ∆DCA og ∆HGF, kan vi se, at både AC og GF er deres fælles side. Da ∆DCB og ∆HGE er similar, kan vi konkludere, at ∆DCA er similar med ∆HGF.

Samlet set har vi vist, at hvis CD og GH er henholdsvis vinkeldelere for ∠ACB og ∠EGF, og ∆ABC er similar med ∆FEG, så gælder følgende:

(i) CD/GH = AC/FG

(ii) ∆DCB ~ ∆HGE

(iii) ∆DCA ~ ∆HGF

Disse egenskaber er nyttige i geometrien og kan hjælpe os med at finde relationer mellem forskellige trekanter og deres vinkeldelere.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er betydningen af ​​CD og GH i denne problemstilling?

CD og GH er henholdsvis vinkeldelere for ∠ACB og ∠EGF. De deler vinklerne i to ligedele, og D og H er punkterne på siderne af trekanten, hvor vinkeldelene krydser.

Hvad betyder det, når det siges, at ∆ABC og ∆EFG er ensbetydende?

Når vi siger, at ∆ABC og ∆EFG er ensbetydende, betyder det, at de to trekanter er ens i formen, men ikke nødvendigvis i størrelsen. Det betyder, at de har de samme interne vinkler, men kan have forskellige sidelængder.

Hvad betyder det, når CD / GH = AC / FG?

Når vi siger, at CD / GH = AC / FG, betyder det, at forholdet mellem længderne af CD og GH er det samme som forholdet mellem længderne af AC og FG. Dette afspejler proportionaliteten mellem de tilsvarende sider i de to ensbetydende trekanter.

Hvilket forhold er der mellem ∆DCB og ∆HGE?

Det er blevet vist, at ∆DCB og ∆HGE er ensbetydende trekanter. Dette betyder, at de to trekanter har samme interne vinkler og dermed også samme mønster af sidelængder.

Hvordan kan vi vise, at ∆DCB er ensbetydende med ∆HGE?

Vi ved, at CD og GH er vinkeldelere for respektive vinkler ∠ACB og ∠EGF. Dette betyder, at de deler disse vinkler i to ligedele. Ved at bruge vinkeldelervalget kan vi vise, at ∆DCB er ensbetydende med ∆HGE.

Hvordan kan vi vise, at ∆DCA er ensbetydende med ∆HGF?

For at vise, at ∆DCA er ensbetydende med ∆HGF, kan vi bruge en lignende tilgang som i det foregående spørgsmål. Vi kan bruge de givne ligheder mellem delvinklernes længder og bruge vinkeldelervalsen til at bevise, at ∆DCA er ensbetydende med ∆HGF.

Hvilke andre egenskaber og forhold kan vi bemærke mellem ∆ABC og ∆FEG?

Udover de allerede nævnte egenskaber og forhold kan vi også bemærke, at de to trekanter deler flere andre egenskaber, herunder proportionaliteten mellem sidernes længder, proportionaliteten mellem vinklerne og lighed i formen.

Hvordan kan vi bruge lignende trekanter til at vise de givne ligheder?

Vi kan bruge lignende trekanter til at vise de givne ligheder ved at sammenligne sider og vinkler i de to trekanter og bruge forskellige egenskaber ved lignende trekanter til at etablere de ønskede ligheder.

Hvordan kan vi bevise, at CD og GH er faktiske vinkeldelere?

For at bevise, at CD og GH er faktiske vinkeldelere, skal vi vise, at de deler de respektive vinkler i to ligedele. Dette kan gøres ved at demonstrere, at de to vinkler er ensbetydende med hinanden og at CD og GH krydser hinanden på midten af ​​disse vinkler.

Hvordan kan vi bruge lighederne mellem de trekanter til at finde mere information om CD og GH?

Ved at bruge lighederne mellem de trekanter kan vi fastslå, at forholdet mellem længderne af CD og GH er det samme som forholdet mellem de tilsvarende sider i ∆ABC og ∆FEG. Vi kan også bruge ligheden mellem vinklerne til at finde mere information om placeringen af ​​CD og GH inde i de trekanter.

Andre populære artikler: Polynomers nuller og forholdet mellem koefficienterne af polynomerne og nullerne • 4. Klasse Division Opgaver • Common Denominator Calculator • 1973 i Romertal • Factoring Polynomials Calculator • Hvad er 10 i 1. potens? • NCERT-løsninger Klasse 6 Matematik Kapitel 4 Øvelse 4.2 Grundlæggende geometriske idéer • MMMV Romertal: En dybdegående undersøgelse • Cylindriske koordinater • Beskrivelsen af grafen y > mx, hvor m > 0 • Square Root of 162 • 23500 i ord • Afhandling: Omdrejning af en retvinklet trekant • Indledning • Range i statistik • Square Root of 34: Alt du behøver at vide • Hvordan beregnes omkredsen af en trekant? • Kubikroden af 392 • Verificér om følgende er rødder af den angivne polynomium • Table of 62: Alt, hvad du bør vide om gangen med 62