Beregning af området og længden af højden i en retvinklet trekant

I denne artikel vil vi undersøge en retvinklet trekant ∆ABC, hvor vinklen ved hjørnet A er på 90 grader. Vi vil beregne området af trekanten og finde længden af højden AD, hvor AD er vinkelret på siden BC. Kendskabet til længderne af siderne AB, BC og AC vil hjælpe os med at udføre disse beregninger.

Problemstillingen

Vi har en retvinklet trekant ∆ABC, hvor ∠A er en ret vinkel. Vi har også en højde AD, der er vinkelret på siden BC. Vi skal beregne området af trekanten, hvilket er den plads, den fylder i planen. Derudover skal vi finde længden af højden AD.

Givne oplysninger

Vi er blevet oplyst om længderne af siderne AB, BC og AC i trekanten. AB måler 5 cm, BC måler 13 cm og AC måler 12 cm. Disse oplysninger vil være afgørende for vores beregninger.

Beregning af området af ∆ABC

For at beregne området af ∆ABC skal vi bruge formlen for området af en trekant, der involverer to sider og vinklen mellem dem. Formlen lyder som følger:

Område = 0.5 * AB * AC * sin(∠B)

I vores tilfælde er vinklen ∠B lig 90 grader, da ∆ABC er retvinklet ved hjørnet A. Derfor bliver formlen til:

Område = 0.5 * AB * AC * sin(90)

Da sin(90) er lig med 1, reduceres formlen til:

Område = 0.5 * AB * AC

Indsætter vi de kendte værdier i formlen, får vi:

Område = 0.5 * 5 cm * 12 cm = 30 cm²

Derfor er området af ∆ABC 30 kvadratcentimeter.

Beregning af længden af AD

For at finde længden af højden AD skal vi bruge pythagoræiske sætning, da ∆ABC er en retvinklet trekant. Ifølge pythagoræiske sætning er summen af kvadraterne på længderne af de to kateter (siderne ved den rette vinkel) lig med kvadratet på længden af hypotenusen (den side modstående den rette vinkel). Formlen lyder som følger:

AC² = AB² + BC²

Indsætter vi de kendte værdier, får vi:

12 cm² = 5 cm² + BC²

Ved at isolere BC findes:

BC² = 12 cm² – 5 cm²

BC² = 144 cm² – 25 cm²

BC² = 119 cm²

For at finde længden af BC beder vi nu om kvadratroden af 119 cm², da vi er interesserede i længden og ikke i kvadratet af længden.

BC = √119 cm

Bruger en lommeregner får vi, at længden af BC er ca. 10,92 cm (2 decimaler).

Nu hvor vi kender længden af BC, kan vi bruge det til at finde længden af AD ved hjælp af området af trekanten. Vi ved, at området af en trekant kan beregnes ved hjælp af basen og højden af trekanten. I dette tilfælde vil basen være BC, og højden vil være AD. Da området er 30 cm², kan vi formulere følgende ligning:

Område = 0.5 * BC * AD

Indsætter vi de kendte værdier, får vi:

30 cm²= 0.5 * 10.92 cm * AD

For at isolere AD finder vi:

30 cm² / 0.5 * 10.92 cm = AD

Ved at løse ligningen får vi, at længden af AD er ca. 5.48 cm (2 decimaler).

Konklusion

I denne artikel har vi beregnet området af en retvinklet trekant ∆ABC, hvor vinklen ved hjørnet A er 90 grader. Vi har også fundet længden af højden AD, der er vinkelret på siden BC. Ved hjælp af længderne af siderne AB, BC og AC kunne vi udføre disse beregninger ved at anvende formler som området af en trekant og pythagoræiske sætning. Resultaterne viste, at området af ∆ABC er 30 kvadratcentimeter, og længden af AD er ca. 5.48 cm. Disse beregninger kan hjælpe os med at forstå geometriske egenskaber ved retvinklede trekanter og anvende dem i praktiske situationer.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er en retvinklet trekant?

En retvinklet trekant er en trekant, hvor en af vinklerne er lig med 90 grader. Den side, der ligger overfor den rette vinkel, kaldes hypotenusen, og de to andre sider kaldes kateter.

Hvad er en højde i en trekant?

I en trekant er højden en linje, der er trukket vinkelret ned fra en af vinklerne til den modsatte side. I dette tilfælde er AD en højde i trekanten ∆ABC, da den er vinkelret på BC.

Hvordan kan vi finde længden af AD?

Vi kan bruge egenskaberne for retvinklede trekanter til at finde længden af AD. Vi ved, at trekanten ∆ABC er en 5-12-13 trekant, hvilket betyder, at forholdet mellem siderne er 5:12:13. Det betyder, at længden af AD kan findes ved at bruge forholdet 5:12, da AD er den side, der er modsat den 5 cm side (AB) i trekanten.

Hvordan udregner vi længden af AD ved hjælp af forholdet 5:12?

For at finde længden af AD kan vi bruge følgende formel: AD = AB * (ADJACENT / HYPOTENUSE). I dette tilfælde vil AD = 5 cm * (5/13) = 25/13 cm.

Hvordan finder vi området af ∆ABC?

Vi kan bruge længderne af to sider i trekanten til at finde området ved hjælp af formel: A = (1/2) * base * højde. I dette tilfælde vil området af ∆ABC være A = (1/2) * AC * AD.

Hvad er længden af AC?

AC er 12 cm, som er længden af den side, der ligger overfor den rette vinkel i trekanten.

Hvad er længden af AD?

Længden af AD er 25/13 cm, som vi beregnede tidligere.

Hvordan beregner vi området af ∆ABC?

Ved at indsætte værdierne i formlen får vi A = (1/2) * 12 cm * (25/13 cm).

Hvad er området af ∆ABC?

Ved at beregne vil vi finde A = 150/13 cm², som er området af ∆ABC.

Hvilke oplysninger har vi brugt for at finde området af ∆ABC?

Vi har brugt længderne af AC og AD i formlen for at finde området af ∆ABC. Vi har også brugt forholdet mellem siderne i trekanten og beregnet værdierne ved hjælp af matematiske beregninger.

Andre populære artikler: Find den side, der er markeret som X på billedet, og rund op til 5 decimaler • HCF (Highest Common Factor) af 2 og 12 • LCM af 36 og 72 • GCF af 40 og 42 • Factorise: a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc • The angles x – 10° and 190° – x • A number is divisible by both 5 and 12. By which other number will that number be always divisible? • Factors of 165 – Find de primære faktorer af 165 • En trekantet prisme har __________ sider, __________ kanter og __________ hjørner. • How to multiply mixed fractions with whole numbers? • Table of 99 – Gå dybere ind i 9-tals tabellen • CMXCIX Roman Numerals • Faktorer af 702 • Champa og Chameli: Skal ABCD være en firkant? • 34 skrevet med bogstaver – Hvordan staves 34? • Temperature Converter • How Many Inches is 21 cm? • The angles x – 10° and 190° – x • 18 i romertal: Hvordan repræsenteres tallet XVIII? • Cot 40 Grader – Den ultimative guide