Bestemmelse af radius ved hjælp af længden af en tangent
For at finde svaret på vores spørgsmål, skal vi først forstå hvad en tangent er, og hvordan den forholder sig til en cirkel. En tangent er en linje, der rører cirklen præcis i ét punkt, og den er vinkelret på radiuslinjen, der forbinder centrum af cirklen til det berørte punkt. Ved at kende længden af en tangent og afstanden fra centrum til det berørte punkt, kan vi bestemme radius af cirklen.
Lad os kalde længden af tangenten for t og afstanden fra centrum til punktet A for d. I vores eksempel er t = 4 cm og d = 5 cm. Vi ønsker at finde radius af cirklen, så vi kalder den for r.
Trin 1: Konstruktion af en skitse
Først og fremmest skal vi konstruere en skitse af situationen. Vi tegner en cirkel med centrum i O og en radius r, og markere punktet A på cirkelbuen. Vi trækker også en tangent fra punktet A, som skærer cirklen i punktet B.
Trin 2: Anvendelse af teorem
Vi ved, at en cirkel er symmetrisk omkring sine radier. Det betyder, at den linje fra midtpunktet O til punktet B er vinkelret på tangenten AB. Vi kan derfor konkludere, at trekanten OAB er en retvinklet trekant.
Ifølge Pythagoras sætning i en retvinklet trekant, er summen af kvadraterne på kateterne lig med kvadratet på hypotenusen. I vores tilfælde er kateteret OA lig med r, og kateteret AB lig med t. Hypotenusen OB er det ukendte, som vi ønsker at bestemme, og vi betegner den som x.
Formlen for Pythagoras sætning lyder:
OA^2 + AB^2 = OB^2
Indsætter vi værdierne, får vi:
r^2 + t^2 = x^2
Trin 3: Løsning af ligningen
Vi har nu en ligning med en ukendt (x), som vi ønsker at isolere. Lad os omskrive ligningen, så vi kan løse den for x:
x^2 = r^2 + t^2
x = sqrt(r^2 + t^2)
Vi har nu fundet et udtryk for x, som er længden af OB. Men vi ønsker stadig at bestemme radius r. Vi ved fra skitsen, at længden af OB er lig med r + d. Vi kan derfor opstille følgende ligning:
r + d = sqrt(r^2 + t^2)
Lad os nu isolere r:
r = sqrt(r^2 + t^2) – d
Vi har nu en ligning for radius, hvor vi kender værdierne af t og d. Vi kan nu indsætte disse værdier og løse ligningen for at finde r.
Trin 4: Beregning
Indsætter vi værdierne t = 4 cm og d = 5 cm, får vi:
r = sqrt(r^2 + 4^2) – 5
For at løse denne ligning, skal vi bringe den kvadrerede radius alene på den ene side af lighedstegnet:
r^2 – r – 9 = 0
Vi har nu en andengradsligning, som vi kan løse ved hjælp af løsningsformlen. Den siger, at hvis vi har en ligning af formen ax^2 + bx + c = 0, så er løsningerne givet ved:
x = (-b ± sqrt(b^2 – 4ac)) / 2a
I vores tilfælde har vi a = 1, b = -1 og c = -9:
r = (-(-1) ± sqrt((-1)^2 – 4(1)(-9))) / 2(1)
r = (1 ± sqrt(1 + 36)) / 2
r = (1 ± sqrt(37)) / 2
Vi finder altså to løsninger for r, og får:
r_1 = (1 + sqrt(37)) / 2 ≈ 3.82
r_2 = (1 – sqrt(37)) / 2 ≈ -2.82
Da vi ikke kan have en negativ radius, vælger vi r_1 som vores svar. Cirklen har altså en radius på cirka 3.82 cm, når længden af tangenten fra punkt A, der er 5 cm fra centrum af cirklen, er 4 cm.
Konklusion
Vi har nu fulgt en grundig og detaljeret fremgangsmåde for at bestemme radius af en cirkel ud fra længden af en tangent og afstanden fra centrum til det berørte punkt. Ved hjælp af Pythagoras sætning og ligningsløsning har vi fundet, at cirklen har en radius på cirka 3.82 cm i vores eksempel. Dette viser, hvordan matematiske principper kan anvendes til at løse geometriske problemer og finde nøjagtige svar. Vi håber, at denne artikel har været værdiskabende, hjælpsom, informativ, omfattende, udtømmende, komplet, berigende, lærerig, oplysende og indsigtsfuld for læseren.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er definitionen af en tangentlinje på en cirkel?
Hvordan kan man finde radius af en cirkel, når længden af tangentlinjen og afstanden fra punktet til cirkelens centrum er kendt?
Hvilken trigonometrisk relation bruges til at finde radius af cirklen?
Hvad er Pythagoras sætning?
Hvordan ser ligningen ud for Pythagoras sætning i dette tilfælde?
Hvordan kan man omskrive ligningen for Pythagoras sætning for at finde radius af cirklen?
Hvad er kvadratroden af et tal?
Hvordan bruger man kvadratroden til at finde radius af cirklen i dette tilfælde?
Hvad er det generelle forhold mellem en radius og en tangentlinje til en cirkel?
Hvilken betydning har afstanden fra punktet til cirkelens centrum for længden af tangentlinjen?
Andre populære artikler: Faktorer af 2145 • 125 i binært • Prime and Composite Numbers Worksheets • Volume Formler • Inferential statistik • HCF af 120, 144 og 204 • Introduktion • Square Root of 1089 – Alt hvad du behøver at vide • Cube Root of 2560 • GCF of 18 and 45 • Factors of 616 • Deling af decimaltal med 10, 100 og 1000 – Arbejdsark • If A, B, C er vinklerne i en trekant, så find cos A cos B cos C • Egenskaber ved hele tal • Antal små terninger, der kan placeres i en cuboid • The sequence an is defined by a0 = 1 • Square Root of 675 – Den dybdegående beregning af kvadratroden af 675 • Dybdegående forståelse af polynomier i NCERT Løsninger Klasse 9 Matematik Kapitel 2 Øvelse 2.3 • Kvadratroden af 4 • I am a number that tells how many times the base is used as a factor