datadybder.dk

Bestemmelse af radius ved hjælp af længden af en tangent

For at finde svaret på vores spørgsmål, skal vi først forstå hvad en tangent er, og hvordan den forholder sig til en cirkel. En tangent er en linje, der rører cirklen præcis i ét punkt, og den er vinkelret på radiuslinjen, der forbinder centrum af cirklen til det berørte punkt. Ved at kende længden af en tangent og afstanden fra centrum til det berørte punkt, kan vi bestemme radius af cirklen.

Lad os kalde længden af tangenten for t og afstanden fra centrum til punktet A for d. I vores eksempel er t = 4 cm og d = 5 cm. Vi ønsker at finde radius af cirklen, så vi kalder den for r.

Trin 1: Konstruktion af en skitse

Først og fremmest skal vi konstruere en skitse af situationen. Vi tegner en cirkel med centrum i O og en radius r, og markere punktet A på cirkelbuen. Vi trækker også en tangent fra punktet A, som skærer cirklen i punktet B.

Trin 2: Anvendelse af teorem

Vi ved, at en cirkel er symmetrisk omkring sine radier. Det betyder, at den linje fra midtpunktet O til punktet B er vinkelret på tangenten AB. Vi kan derfor konkludere, at trekanten OAB er en retvinklet trekant.

Ifølge Pythagoras sætning i en retvinklet trekant, er summen af kvadraterne på kateterne lig med kvadratet på hypotenusen. I vores tilfælde er kateteret OA lig med r, og kateteret AB lig med t. Hypotenusen OB er det ukendte, som vi ønsker at bestemme, og vi betegner den som x.

Formlen for Pythagoras sætning lyder:

OA^2 + AB^2 = OB^2

Indsætter vi værdierne, får vi:

r^2 + t^2 = x^2

Trin 3: Løsning af ligningen

Vi har nu en ligning med en ukendt (x), som vi ønsker at isolere. Lad os omskrive ligningen, så vi kan løse den for x:

x^2 = r^2 + t^2

x = sqrt(r^2 + t^2)

Vi har nu fundet et udtryk for x, som er længden af OB. Men vi ønsker stadig at bestemme radius r. Vi ved fra skitsen, at længden af OB er lig med r + d. Vi kan derfor opstille følgende ligning:

r + d = sqrt(r^2 + t^2)

Lad os nu isolere r:

r = sqrt(r^2 + t^2) – d

Vi har nu en ligning for radius, hvor vi kender værdierne af t og d. Vi kan nu indsætte disse værdier og løse ligningen for at finde r.

Trin 4: Beregning

Indsætter vi værdierne t = 4 cm og d = 5 cm, får vi:

r = sqrt(r^2 + 4^2) – 5

For at løse denne ligning, skal vi bringe den kvadrerede radius alene på den ene side af lighedstegnet:

r^2 – r – 9 = 0

Vi har nu en andengradsligning, som vi kan løse ved hjælp af løsningsformlen. Den siger, at hvis vi har en ligning af formen ax^2 + bx + c = 0, så er løsningerne givet ved:

x = (-b ± sqrt(b^2 – 4ac)) / 2a

I vores tilfælde har vi a = 1, b = -1 og c = -9:

r = (-(-1) ± sqrt((-1)^2 – 4(1)(-9))) / 2(1)

r = (1 ± sqrt(1 + 36)) / 2

r = (1 ± sqrt(37)) / 2

Vi finder altså to løsninger for r, og får:

r_1 = (1 + sqrt(37)) / 2 ≈ 3.82

r_2 = (1 – sqrt(37)) / 2 ≈ -2.82

Da vi ikke kan have en negativ radius, vælger vi r_1 som vores svar. Cirklen har altså en radius på cirka 3.82 cm, når længden af tangenten fra punkt A, der er 5 cm fra centrum af cirklen, er 4 cm.

Konklusion

Vi har nu fulgt en grundig og detaljeret fremgangsmåde for at bestemme radius af en cirkel ud fra længden af en tangent og afstanden fra centrum til det berørte punkt. Ved hjælp af Pythagoras sætning og ligningsløsning har vi fundet, at cirklen har en radius på cirka 3.82 cm i vores eksempel. Dette viser, hvordan matematiske principper kan anvendes til at løse geometriske problemer og finde nøjagtige svar. Vi håber, at denne artikel har været værdiskabende, hjælpsom, informativ, omfattende, udtømmende, komplet, berigende, lærerig, oplysende og indsigtsfuld for læseren.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er definitionen af en tangentlinje på en cirkel?

En tangentlinje til en cirkel er en linje, der kun rører cirklen i ét enkelt punkt og er vinkelret på radiuslinjen, der går fra cirkelens centrum til punktet, hvor tangenten rører cirklen.

Hvordan kan man finde radius af en cirkel, når længden af tangentlinjen og afstanden fra punktet til cirkelens centrum er kendt?

Ved hjælp af en trigonometrisk relation kan man finde radius af cirklen ved at anvende Pythagoras sætning.

Hvilken trigonometrisk relation bruges til at finde radius af cirklen?

Man kan bruge den trigonometriske relation i en retvinklet trekant, hvor radius af cirklen er hypotenusen, afstanden fra punktet til centrum er den ene katete og længden af tangentlinjen er den anden katete.

Hvad er Pythagoras sætning?

Pythagoras sætning siger, at i en retvinklet trekant er summen af kvadraterne på de to kateter lig med kvadratet på hypotenusen.

Hvordan ser ligningen ud for Pythagoras sætning i dette tilfælde?

I dette tilfælde kan ligningen for Pythagoras sætning skrives som: radius^2 = afstand til centrum^2 + længde af tangentlinje^2.

Hvordan kan man omskrive ligningen for Pythagoras sætning for at finde radius af cirklen?

Man kan omskrive ligningen ved at isolere radius på den ene side, således at radius = kvadratrod(afstand til centrum^2 + længde af tangentlinje^2).

Hvad er kvadratroden af et tal?

Kvadratroden af et tal er et andet tal, der, når det ganges med sig selv, giver det oprindelige tal. For eksempel er kvadratroden af 9 lig med 3, da 3 * 3 = 9.

Hvordan bruger man kvadratroden til at finde radius af cirklen i dette tilfælde?

Man tager kvadratroden af summen af kvadraterne af afstanden til centrum og længden af tangentlinjen for at finde radius af cirklen.

Hvad er det generelle forhold mellem en radius og en tangentlinje til en cirkel?

Det generelle forhold mellem en radius og en tangentlinje til en cirkel er, at de står vinkelret på hinanden og danner en retvinklet trekant.

Hvilken betydning har afstanden fra punktet til cirkelens centrum for længden af tangentlinjen?

Afstanden fra punktet til centrum påvirker længden af tangentlinjen. Jo længere væk punktet er fra centrum, desto længere vil tangentlinjen være.

Andre populære artikler: Faktorer af 2145125 i binærtPrime and Composite Numbers WorksheetsVolume FormlerInferential statistikHCF af 120, 144 og 204IntroduktionSquare Root of 1089 – Alt hvad du behøver at videCube Root of 2560GCF of 18 and 45Factors of 616Deling af decimaltal med 10, 100 og 1000 – ArbejdsarkIf A, B, C er vinklerne i en trekant, så find cos A cos B cos CEgenskaber ved hele talAntal små terninger, der kan placeres i en cuboidThe sequence an is defined by a0 = 1Square Root of 675 – Den dybdegående beregning af kvadratroden af 675Dybdegående forståelse af polynomier i NCERT Løsninger Klasse 9 Matematik Kapitel 2 Øvelse 2.3Kvadratroden af 4I am a number that tells how many times the base is used as a factor