Bevis at præcis ét ud af n, n^2 og n^4 er deleligt med 3, hvor n er et positivt heltal
I matematik er divisibilitet en vigtig egenskab, der kan hjælpe os med at forstå og analysere tal. Dette bevis vil demonstrere, at kun én ud af n, n^2 og n^4 er delelig med 3 for ethvert positivt heltal n.
Bevis ved modulær aritmetik
For at bevise dette vil vi bruge modulær aritmetik, hvor vi betragter resten af divisionen mellem tal. Vi ved, at et tal er deleligt med 3, hvis og kun hvis resten af divisionen er 0.
1. Tilfældet n er deleligt med 3
Hvis n er deleligt med 3, kan vi definere n som n = 3k, hvor k er et positivt heltal. Nu kan vi se på n^2 og n^4.
n^2 = (3k)^2 = 9k^2. Da 9 er deleligt med 3, er n^2 også deleligt med 3. Dette viser, at n^2 er deleligt med 3, når n er deleligt med 3.
n^4 = (3k)^4 = 81k^4. Da 81 er deleligt med 3, er n^4 også deleligt med 3. Dette viser, at n^4 er deleligt med 3, når n er deleligt med 3.
Derfor kan vi konkludere, at hvis n er deleligt med 3, er både n^2 og n^4 delelige med 3.
2. Tilfældet n har rest 1 ved division med 3
Hvis n har rest 1 ved division med 3, kan vi definere n som n = 3k + 1, hvor k er et positivt heltal. Lad os nu se på n^2 og n^4.
n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1. Resten af divisionen mellem n^2 og 3 er 1. Dette viser, at n^2 ikke er deleligt med 3, når n har rest 1 ved division med 3.
n^4 = (3k + 1)^4 = 81k^4 + 108k^3 + 54k^2 + 12k + 1 = 3(27k^4 + 36k^3 + 18k^2 + 4k) + 1. Resten af divisionen mellem n^4 og 3 er også 1. Dette viser, at n^4 ikke er deleligt med 3, når n har rest 1 ved division med 3.
3. Tilfældet n har rest 2 ved division med 3
Til sidst vil vi betragte tilfældet hvor n har rest 2 ved division med 3, og vi kan definere n som n = 3k + 2, hvor k er et positivt heltal. På samme måde vil vi analysere n^2 og n^4.
n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1. Resten af divisionen mellem n^2 og 3 er 1. Dette viser, at n^2 ikke er deleligt med 3, når n har rest 2 ved division med 3.
n^4 = (3k + 2)^4 = 81k^4 + 144k^3 + 96k^2 + 32k + 16 = 3(27k^4 + 48k^3 + 32k^2 + 10k + 5) + 1. Resten af divisionen mellem n^4 og 3 er også 1. Dette viser, at n^4 ikke er deleligt med 3, når n har rest 2 ved division med 3.
Konklusion
Baseret på vores bevis kan vi konkludere, at kun én ud af n, n^2 og n^4 er delelig med 3 for ethvert positivt heltal n.
Det er vigtigt at forstå og anvende matematiske beviser for at opnå en dybere forståelse af matematik. Dette bevis viser, hvordan modulær aritmetik kan anvendes til at bevise divisibilitetsegenskaber.
Vi håber, at dette bevis har været nyttigt og informativt, og at det har øget din forståelse af talteori og modulær aritmetik.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad betyder det, at et tal er deleligt med 3?
Hvad er definitionen af n^2 og n^4?
Hvordan kan man vise, at kun én ud af n, n^2 og n^4 er delelig med 3?
Hvilke divisibilitetsregler kan vi bruge til at bevise det?
Hvad er summen af cifrene i n?
Hvorfor er summen af cifrene i n også delelig med 3?
Hvorfor er summen af cifrene i n^2 også delelig med 3?
Hvordan kan vi vise, at summen af cifrene i n^4 også er delelig med 3?
Hvordan kan vi konkludere, at kun én ud af n, n^2 og n^4 er delelig med 3?
Kan du give et eksempel på et positivt heltal, hvor kun n er deleligt med 3?
Andre populære artikler: Evaluer følgende udtryk ved hjælp af de givne værdier • Faktorer af 342 • Den dybdegående analyse af udtrykket Factorize 5x^3 • Find værdien af x i ligningen √ x 5 = √ x 45 • 135 i Binær • NCERT-løsninger: Klasse 6 Matematik Kapitel 4 Grundlæggende geometriske ideer • Proportion • GCF af 24 og 30 • MCMXCVII Roman Numerals • Den kubikrod af 49: En dybdegående forståelse • HCF af 403, 434 og 465 • En ret cirkulær cylinder, der omslutter en kugle • Table of 28 • NCERT Løsninger Klasse 7 Matematik Kapitel 12 Øvelse 12.3 Algebraiske udtryk • 401 i Romske Tal • Square Root of 306 – Hvad er kvadratroden af 306? • 75 in Roman Numerals • Binomial – Defintion, Eksempler, og Anvendelse i Matematik • Hvad er ækvivalenten til pi over 3 radianer i grader? • Bevis for udsagnet 1 cot^2 α/(1 cosec α) = cosec α