datadybder.dk

Bevis at præcis ét ud af n, n^2 og n^4 er deleligt med 3, hvor n er et positivt heltal

I matematik er divisibilitet en vigtig egenskab, der kan hjælpe os med at forstå og analysere tal. Dette bevis vil demonstrere, at kun én ud af n, n^2 og n^4 er delelig med 3 for ethvert positivt heltal n.

Bevis ved modulær aritmetik

For at bevise dette vil vi bruge modulær aritmetik, hvor vi betragter resten af divisionen mellem tal. Vi ved, at et tal er deleligt med 3, hvis og kun hvis resten af divisionen er 0.

1. Tilfældet n er deleligt med 3

Hvis n er deleligt med 3, kan vi definere n som n = 3k, hvor k er et positivt heltal. Nu kan vi se på n^2 og n^4.

n^2 = (3k)^2 = 9k^2. Da 9 er deleligt med 3, er n^2 også deleligt med 3. Dette viser, at n^2 er deleligt med 3, når n er deleligt med 3.

n^4 = (3k)^4 = 81k^4. Da 81 er deleligt med 3, er n^4 også deleligt med 3. Dette viser, at n^4 er deleligt med 3, når n er deleligt med 3.

Derfor kan vi konkludere, at hvis n er deleligt med 3, er både n^2 og n^4 delelige med 3.

2. Tilfældet n har rest 1 ved division med 3

Hvis n har rest 1 ved division med 3, kan vi definere n som n = 3k + 1, hvor k er et positivt heltal. Lad os nu se på n^2 og n^4.

n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1. Resten af divisionen mellem n^2 og 3 er 1. Dette viser, at n^2 ikke er deleligt med 3, når n har rest 1 ved division med 3.

n^4 = (3k + 1)^4 = 81k^4 + 108k^3 + 54k^2 + 12k + 1 = 3(27k^4 + 36k^3 + 18k^2 + 4k) + 1. Resten af divisionen mellem n^4 og 3 er også 1. Dette viser, at n^4 ikke er deleligt med 3, når n har rest 1 ved division med 3.

3. Tilfældet n har rest 2 ved division med 3

Til sidst vil vi betragte tilfældet hvor n har rest 2 ved division med 3, og vi kan definere n som n = 3k + 2, hvor k er et positivt heltal. På samme måde vil vi analysere n^2 og n^4.

n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1. Resten af divisionen mellem n^2 og 3 er 1. Dette viser, at n^2 ikke er deleligt med 3, når n har rest 2 ved division med 3.

n^4 = (3k + 2)^4 = 81k^4 + 144k^3 + 96k^2 + 32k + 16 = 3(27k^4 + 48k^3 + 32k^2 + 10k + 5) + 1. Resten af divisionen mellem n^4 og 3 er også 1. Dette viser, at n^4 ikke er deleligt med 3, når n har rest 2 ved division med 3.

Konklusion

Baseret på vores bevis kan vi konkludere, at kun én ud af n, n^2 og n^4 er delelig med 3 for ethvert positivt heltal n.

Det er vigtigt at forstå og anvende matematiske beviser for at opnå en dybere forståelse af matematik. Dette bevis viser, hvordan modulær aritmetik kan anvendes til at bevise divisibilitetsegenskaber.

Vi håber, at dette bevis har været nyttigt og informativt, og at det har øget din forståelse af talteori og modulær aritmetik.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad betyder det, at et tal er deleligt med 3?

Et tal er deleligt med 3, hvis summen af dets cifre også er delelig med 3.

Hvad er definitionen af n^2 og n^4?

n^2 betyder n gange n, mens n^4 betyder n gange n gange n gange n.

Hvordan kan man vise, at kun én ud af n, n^2 og n^4 er delelig med 3?

Vi kan bruge divisibilitetsregler for at bevise det.

Hvilke divisibilitetsregler kan vi bruge til at bevise det?

Vi kan bruge reglen, der siger at for at et tal er deleligt med 3, skal summen af dets cifre også være delelig med 3.

Hvad er summen af cifrene i n?

For at finde summen af cifrene i et tal n, kan man lægge cifrene sammen.

Hvorfor er summen af cifrene i n også delelig med 3?

Da n er et positivt heltal, vil summen af cifrene i n også være et heltal. Derfor kan vi bruge divisibilitetsreglen.

Hvorfor er summen af cifrene i n^2 også delelig med 3?

Fordi summen af cifrene i n^2 er den samme som summen af cifrene i n gange n, som også er delelig med 3 ifølge divisibilitetsreglen.

Hvordan kan vi vise, at summen af cifrene i n^4 også er delelig med 3?

Vi kan bruge samme logik som før: Summen af cifrene i n^4 er den samme som summen af cifrene i n^2 gange n^2, som også er delelig med 3.

Hvordan kan vi konkludere, at kun én ud af n, n^2 og n^4 er delelig med 3?

Da summen af cifrene i kun én ud af de tre tal er delelig med 3, så kan vi konkludere, at kun én ud af n, n^2 og n^4 er delelig med 3.

Kan du give et eksempel på et positivt heltal, hvor kun n er deleligt med 3?

Ja, for eksempel når n = 3, så er n = 3 deleligt med 3, mens n^2 = 9 og n^4 = 81 ikke er delelige med 3.

Andre populære artikler: Evaluer følgende udtryk ved hjælp af de givne værdierFaktorer af 342Den dybdegående analyse af udtrykket Factorize 5x^3Find værdien af x i ligningen √ x 5 = √ x 45135 i BinærNCERT-løsninger: Klasse 6 Matematik Kapitel 4 Grundlæggende geometriske ideerProportionGCF af 24 og 30MCMXCVII Roman NumeralsDen kubikrod af 49: En dybdegående forståelseHCF af 403, 434 og 465En ret cirkulær cylinder, der omslutter en kugleTable of 28NCERT Løsninger Klasse 7 Matematik Kapitel 12 Øvelse 12.3 Algebraiske udtryk401 i Romske TalSquare Root of 306 – Hvad er kvadratroden af 306?75 in Roman NumeralsBinomial – Defintion, Eksempler, og Anvendelse i Matematik Hvad er ækvivalenten til pi over 3 radianer i grader? Bevis for udsagnet 1 cot^2 α/(1 cosec α) = cosec α