Derivativen af Sinus Inverse x
I matematikken er sinus inverse x en funktion defineret ved at finde vinklen i en retvinklet trekant, hvis sinus er lig med x. Den derivativ af denne funktion, ofte betegnet som derivative of sin^-1(x) eller derivative of inverse sin(x), kan bestemmes ved hjælp af differentialregning.
Hvordan differentieres Sinus Inverse x?
For at differentiere sinus inverse x kan vi anvende kædereglen. Kædereglen siger, at hvis vi har en funktion g(x) = f(h(x)), hvor f(x) er differentiabel og h(x) er differentiabel, kan vi differentiere g(x) ved at differentiere f(h(x)) og gange med differentialet af h(x).
For at anvende kædereglen, skal vi først udtrykke sinus inverse x som en sammensætning af to funktioner. Lad os definere u = sin^-1(x). Vi kan omarrangere denne definition for at få x = sin(u). Nu kan vi se, at sinus inverse x er en sammensætning af to funktioner: u = f(x) = sin^-1(x), og x = h(u) = sin(u).
Vi kender differentialet af sinusfunktionen, som er cosinusfunktionen: d/dx(sin(x)) = cos(x). Vi kan bruge dette til at bestemme differentialet af sinus inverse x.
Ifølge kædereglen har vi:
d/dx(sin^-1(x)) = d/dx(sin(u)) * d/du(u) = cos(u) * d/du(u)
For at bestemme d/du(u), skal vi differentiere u = sin^-1(x) med hensyn til u. Differentiationen af sin^-1(x) er afhængig af den valgte definition af arcsinusfunktionen.
Arcsinusfunktionens differentiation
Der er to almindeligt anvendte definitioner af arcsinusfunktionen, og derfor er der to differentieringsregler:
1. Definition: arcsin(x) = sin^-1(x)
Hvis vi bruger denne definition, er arcsinus af x den vinkel, hvis sinus er lig med x:
arcsin(x) = sin^-1(x)
Den differentierede af arcsinusfunktionen er:
d/du(sin^-1(x)) = 1 / sqrt(1 – x^2)
Dette betyder, at differentialet af sinus inverse x er:
d/dx(sin^-1(x)) = cos(u) * d/du(u) = cos(u) / sqrt(1 – x^2)
Da x = sin(u), kan vi erstatte cos(u) med sqrt(1 – x^2), og vi får:
d/dx(sin^-1(x)) = sqrt(1 – x^2) / sqrt(1 – x^2) = 1 / sqrt(1 – x^2)
2. Definition: arcsin(x) = -sin^-1(x)
Hvis vi bruger denne definition, får vi:
arcsin(x) = -sin^-1(x)
Den differentierede af arcsinusfunktionen bliver:
d/du(-sin^-1(x)) = -1 / sqrt(1 – x^2)
I dette tilfælde er differentialet af sinus inverse x:
d/dx(sin^-1(x)) = – sqrt(1 – x^2) / sqrt(1 – x^2) = -1 / sqrt(1 – x^2)
Opsummering
Derivativen af sinus inverse x, også kendt som derivative of sin^-1(x) eller derivative of inverse sin(x), kan bestemmes ved hjælp af kædereglen. Afhængigt af den valgte definition af arcsinusfunktionen, er differentialet enten 1 / sqrt(1 – x^2) eller -1 / sqrt(1 – x^2).
Det er vigtigt at bemærke, at disse regler kun gælder for den inverse af sinuskurven. Differentiation af andre inverse trigonometriske funktioner, som for eksempel cosinus inverse x eller tangens inverse x, kræver brugen af forskellige metoder.
For at beregne den afledede af en bestemt funktion anbefales det altid at dobbelttjekke reglerne og udtrykket for den funktion, der differentieres.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er den afledede af sinus invers x?
Hvordan udregner man den afledede af sininus invers x?
Hvordan finder man den afledede af inverse sin x?
Hvad er en mulig notation for den afledede af sininus invers x?
Hvordan kan den afledede af sininus invers x bruges i praksis?
Hvilken regneregler skal man kende for at udregne den afledede af sininus invers x?
Hvad er definitionsmængden for sininus invers x?
Hvilken type funktion er sininus invers x?
Hvad er en afledet funktion?
Hvad er betydningen af at differentiere en funktion?
Andre populære artikler: LCM for 24, 15 og 36: Beregning og anvendelser • Addition og Subtraktion: Dybdegående forståelse og anvendelse • Find den gennemsnitlige koncentration af SO₂ i luften • NCERT Løsninger Klasse 6 Matematik Kapitel 9 Øvelse 9.4 Datahåndtering • Artikel: Hastigheden af en motorbåd i stille vand og hastigheden af strømmen • Inledning • Square Root of 108 – Alt, du behøver at vide • Faktorer af 278 • Er 507 et primtal? • Progression: Eksempler på progression • Square Root of 172 • Multiplication og Division af heltal • Hvilke brøker er lig med 1/3? • NCERT-løsninger Klasse 8 Matte Kapitel 2 Øvelse 2.6 Lineære ligninger med én variabel • LCM af 2, 3, 4 og 5 • 3 Digit Addition Worksheets • Meter to Mile Calculator: Nem metode til at konvertere meter til miles • Reciprocal Calculator • Løsning af ligningen x/a y/b = a b. x/a² y/b² = 2, a,b ≠ 0