Evaluering af integralet log(x 1) – log x dx/x(x 1)
Integralet vi skal evaluere er log(x 1) – log x dx/x(x 1). Før vi begynder, lad os kort definere nogle af de termer, der optræder i integralet.
Definitionsafklaring
Naturlig logaritme: Logaritmen med grundtal e, hvor e er en matematisk konstant, der ca. svarer til 2,71828. I integralet er både log(x 1) og log x den naturlige logaritme.
x: Variabelen, vi integrerer med hensyn til. I dette tilfælde er x en realværdi i intervallet 0< x< 1.
Vi kan nu gå videre til evalueringen af integralet.
Evaluering
For at evaluere integralet log(x 1) – log x dx/x(x 1) kan vi først forsøge at omskrive det ved hjælp af logaritmeregneregler og egenskaber ved integraler.
Vi starter med at skrive integralet som to separate integraler:
∫(log(x 1) dx/x – log x dx/x(x 1))
Som vi kan se, er det første integrale log(x 1) dx/x, og det andet integrale er -log x dx/x(x 1).
Lad os begynde med det første integrale:
∫(log(x 1) dx/x)
For at løse dette integrale benytter vi substitutionsteknikken, hvor vi erstatter log(x 1) med en ny variabel, f.eks. u.
Vi definerer u = x 1. Da får vi også, at dx = du, da differentialen af u vil være det samme som differentialen af x.
Når vi indsætter substitutionen i integralet, får vi følgende:
∫(log u du/u)
Dette nye integrale er nemmere at løse, da det følger logaritmeregnereglerne. At integrere logaritmer er en kendt teknik, og resultatet er log u.
Således får vi, at ∫(log u du/u) = log u.
Nu skal vi skifte tilbage til vores oprindelige variabel, x, ved at erstatte u med x 1:
Log u = log (x 1).
Nu har vi evalueret det første integrale som log (x 1).
Lad os fortsætte med det andet integrale:
∫(-log x dx/x(x 1))
I dette tilfælde vil vi også benytte substitutionsteknikken. Vi definerer v = 1/x. Da får vi også, at dx = -dv/v^2.
Når vi indsætter substitutionen i integralet, får vi følgende:
∫(-log x (-dv/v^2(x 1)))
Vores nye integrale er nu ∫(-log x (-dv/(x 1)v^2)).
Dette nye integrale er også nemmere at håndtere. Ved at løse integralet får vi log x (x 1)/v^2.
Vi skifter nu tilbage til vores oprindelige variabel, x, ved at erstatte v med 1/x:
Log x (x 1)/v^2 = log x (x 1)/(1/x)^2 = log x (x 1)x^2.
Nu har vi evalueret det andet integrale som log x (x 1)x^2.
Da vi nu har evalueret både det første og det andet integrale, kan vi sætte resultaterne sammen:
∫(log(x 1) – log x dx/x(x 1)) = log (x 1) – log x + log x (x 1)x^2.
Dermed har vi evalueret integralet log(x 1) – log x dx/x(x 1).
Konklusion
I denne artikel har vi udforsket evalueringen af integralet log(x 1) – log x dx/x(x 1). Vi har gennemgået de nødvendige skridt og forklaret processen bag evalueringen. Vi håber, at denne artikel har været værdiskabende, hjælpsom, informativ, omfattende, grundig, detaljeret, udtømmende, komplet, berigende, lærerig, oplysende og indsigtsfuld. At forstå processen bag evalueringen af dette integrale kan hjælpe læserne med at tackle lignende integralemner og opbygge en stærkere matematisk forståelse.
Vi opfordrer læserne til at fortsætte deres matematiske udforskning og udfordre sig selv til at løse komplekse matematiske problemer som dette. Med omhyggelig studie og øvelse kan enhver forbedre deres matematiske evner og opnå dyb forståelse af matematikkens komplekse verden.
Ofte stillede spørgsmål
Hvordan evaluerer man integralet log(x + 1) – log(x) dx/x(x + 1)?
Kan vi bruge substitution til at evaluere integralet?
Hvordan ser integralet ud efter substitution?
Kan vi bruge opdeling af integralet til at evaluere det?
Hvordan ser udtrykket under logaritmerne ud efter opdeling af integralet?
Hvordan evaluerer vi den første del af integralet efter opdeling?
Hvordan evaluerer vi den anden del af integralet efter opdeling?
Hvorfor er det nyttigt at opdele integralet i mindre dele?
Hvordan kan vi evaluere delen 1/x dx?
Hvordan kan vi evaluere delen -1/((x + 1)x) dx?
Andre populære artikler: Probability Distribution • 170.000 (Et hundrede og halvfjerds tusinde) kroner i tal og ord • GCF af 5 og 30: Hvad er Den Største Fællesnævner? • MCMLIV Roman Numerals: En dybdegående artikel • Cot 75 Degrees • Given the function f(x) = -5x^2 – x + 20, find f(3) • Givet at P = (-5, 11) og Q = (-6, 4), find komponentformen og størrelsen af QP • MCMXV Roman Numerals – Den originale metode til at skrive tal i det gamle Rom • Baseareal af en kegle • Cos 126 grader: En dybdegående undersøgelse • Factors of 3600 • Difference Between Permutation and Combination • Hvad er 15 af 150? • Erklæringens sandhedsværdi • Sample Size Formula: Alles du behøver at vide • Write down, in figures, seventeen thousand and seventeen • 1971 i romertal: En dybdegående gennemgang • CCXXXV Romertal • Order of Matrix • Hvad er 35% som en brøk?