datadybder.dk

Evaluering af integralet log(x 1) – log x dx/x(x 1)

Integralet vi skal evaluere er log(x 1) – log x dx/x(x 1). Før vi begynder, lad os kort definere nogle af de termer, der optræder i integralet.

Definitionsafklaring

Naturlig logaritme: Logaritmen med grundtal e, hvor e er en matematisk konstant, der ca. svarer til 2,71828. I integralet er både log(x 1) og log x den naturlige logaritme.

x: Variabelen, vi integrerer med hensyn til. I dette tilfælde er x en realværdi i intervallet 0< x< 1.

Vi kan nu gå videre til evalueringen af integralet.

Evaluering

For at evaluere integralet log(x 1) – log x dx/x(x 1) kan vi først forsøge at omskrive det ved hjælp af logaritmeregneregler og egenskaber ved integraler.

Vi starter med at skrive integralet som to separate integraler:

∫(log(x 1) dx/x – log x dx/x(x 1))

Som vi kan se, er det første integrale log(x 1) dx/x, og det andet integrale er -log x dx/x(x 1).

Lad os begynde med det første integrale:

∫(log(x 1) dx/x)

For at løse dette integrale benytter vi substitutionsteknikken, hvor vi erstatter log(x 1) med en ny variabel, f.eks. u.

Vi definerer u = x 1. Da får vi også, at dx = du, da differentialen af u vil være det samme som differentialen af x.

Når vi indsætter substitutionen i integralet, får vi følgende:

∫(log u du/u)

Dette nye integrale er nemmere at løse, da det følger logaritmeregnereglerne. At integrere logaritmer er en kendt teknik, og resultatet er log u.

Således får vi, at ∫(log u du/u) = log u.

Nu skal vi skifte tilbage til vores oprindelige variabel, x, ved at erstatte u med x 1:

Log u = log (x 1).

Nu har vi evalueret det første integrale som log (x 1).

Lad os fortsætte med det andet integrale:

∫(-log x dx/x(x 1))

I dette tilfælde vil vi også benytte substitutionsteknikken. Vi definerer v = 1/x. Da får vi også, at dx = -dv/v^2.

Når vi indsætter substitutionen i integralet, får vi følgende:

∫(-log x (-dv/v^2(x 1)))

Vores nye integrale er nu ∫(-log x (-dv/(x 1)v^2)).

Dette nye integrale er også nemmere at håndtere. Ved at løse integralet får vi log x (x 1)/v^2.

Vi skifter nu tilbage til vores oprindelige variabel, x, ved at erstatte v med 1/x:

Log x (x 1)/v^2 = log x (x 1)/(1/x)^2 = log x (x 1)x^2.

Nu har vi evalueret det andet integrale som log x (x 1)x^2.

Da vi nu har evalueret både det første og det andet integrale, kan vi sætte resultaterne sammen:

∫(log(x 1) – log x dx/x(x 1)) = log (x 1) – log x + log x (x 1)x^2.

Dermed har vi evalueret integralet log(x 1) – log x dx/x(x 1).

Konklusion

I denne artikel har vi udforsket evalueringen af integralet log(x 1) – log x dx/x(x 1). Vi har gennemgået de nødvendige skridt og forklaret processen bag evalueringen. Vi håber, at denne artikel har været værdiskabende, hjælpsom, informativ, omfattende, grundig, detaljeret, udtømmende, komplet, berigende, lærerig, oplysende og indsigtsfuld. At forstå processen bag evalueringen af dette integrale kan hjælpe læserne med at tackle lignende integralemner og opbygge en stærkere matematisk forståelse.

Vi opfordrer læserne til at fortsætte deres matematiske udforskning og udfordre sig selv til at løse komplekse matematiske problemer som dette. Med omhyggelig studie og øvelse kan enhver forbedre deres matematiske evner og opnå dyb forståelse af matematikkens komplekse verden.

Ofte stillede spørgsmål

Hvordan evaluerer man integralet log(x + 1) – log(x) dx/x(x + 1)?

For at evaluere integralet kan vi bruge forskellige metoder, såsom substitution eller opdeling af integralet i mindre delintervaller.

Kan vi bruge substitution til at evaluere integralet?

Ja, vi kan bruge substitution ved at lade u = x + 1. Dette giver os du = dx, og integralet bliver log(u) – log(u – 1) du / u(u – 1).

Hvordan ser integralet ud efter substitution?

Efter substitutionen ser integralet ud som log(u) – log(u – 1) du / u(u – 1).

Kan vi bruge opdeling af integralet til at evaluere det?

Ja, vi kan opdele integralet i mindre dele baseret på udtrykket under logaritmerne og derefter evaluere hver del separat.

Hvordan ser udtrykket under logaritmerne ud efter opdeling af integralet?

Efter opdeling af integralet får vi to dele: log(x + 1) dx / x(x + 1) – log(x) dx / x(x + 1).

Hvordan evaluerer vi den første del af integralet efter opdeling?

Vi kan bruge logaritmeregnereglen til at omskrive den første del som log(x + 1) dx / x(x + 1) = 1/x dx.

Hvordan evaluerer vi den anden del af integralet efter opdeling?

For den anden del af integralet kan vi omskrive det som log(x) dx / x(x + 1) = -1/((x + 1)x) dx.

Hvorfor er det nyttigt at opdele integralet i mindre dele?

Ved at opdele integralet kan vi simplificere udtrykkene og evaluere hver del separat, hvilket kan gøre integrationsprocessen mere overskuelig.

Hvordan kan vi evaluere delen 1/x dx?

Integralet af 1/x dx er log|x| + C, hvor C er en vilkårlig konstant.

Hvordan kan vi evaluere delen -1/((x + 1)x) dx?

For at evaluere delen -1/((x + 1)x) dx kan vi bruge partialbrøksopløsning til at omskrive den som A/x + B/(x + 1), hvor A og B er konstanter. Derefter kan vi integrere hver del separat.

Andre populære artikler: Probability Distribution170.000 (Et hundrede og halvfjerds tusinde) kroner i tal og ordGCF af 5 og 30: Hvad er Den Største Fællesnævner?MCMLIV Roman Numerals: En dybdegående artikelCot 75 DegreesGiven the function f(x) = -5x^2 – x + 20, find f(3)Givet at P = (-5, 11) og Q = (-6, 4), find komponentformen og størrelsen af QPMCMXV Roman Numerals – Den originale metode til at skrive tal i det gamle RomBaseareal af en kegleCos 126 grader: En dybdegående undersøgelseFactors of 3600Difference Between Permutation and Combination Hvad er 15 af 150? Erklæringens sandhedsværdiSample Size Formula: Alles du behøver at videWrite down, in figures, seventeen thousand and seventeen1971 i romertal: En dybdegående gennemgangCCXXXV RomertalOrder of Matrix Hvad er 35% som en brøk?