How to find the exact value of trig functions without a unit circle?

Trigonomi er en gren af matematikken, der er afgørende for at forstå forholdet mellem vinkler og sider i trekanter. Trigonometriske funktioner som sinus, cosinus og tangens bruges til at beregne disse forhold. Mens en enhedscirkel normalt bruges til at bestemme nøjagtige værdier for trigonometriske funktioner, kan der også findes metoder til at beregne disse værdier uden at bruge en enhedscirkel. I denne artikel vil vi udforske, hvordan man finder den præcise værdi af trigonometriske funktioner uden en enhedscirkel.

Hvad er en enhedscirkel?

En enhedscirkel er en cirkel med en radius på 1 enhed, der er placeret i koordinatsystemet. Ved at placere vinkler på enhedscirklen kan man finde sammenhørende x- og y-koordinater, der repræsenterer værdierne for sinus og cosinus. Tangens beregnes som forholdet mellem sinus og cosinus.

Trigonometriske identiteter

For at kunne beregne værdierne for trigonometriske funktioner uden en enhedscirkel er det nyttigt at kende nogle trigonometriske identiteter. Disse identiteter er matematiske forhold, der gælder for alle vinkler.

De mest almindeligt anvendte trigonometriske identiteter inkluderer de reciprokke identiteter, de kvadratiske identiteter, de vinkel-sum-idenditeter og de dobbelt-vinkel-identiteter. Ved at anvende disse identiteter kan man omforme en given trigonometrisk funktion til en anden funktion, der er lettere at beregne.

Trigonometriske identiteter uden enhedscirkel

Følgende metoder kan anvendes til at beregne trigonometriske funktioner uden at bruge en enhedscirkel:

Trigonometriske identiteter:Brug de trigonometriske identiteter til at omforme den givne funktion til en anden funktion, der er lettere at beregne. For eksempel kan sinus kvadreres og omformes til cosinus.
Trekantsmetoder:Brug metoderne inden for trekantløsning til at beregne værdierne for vinkler og sider i en trekant, og brug disse værdier til at bestemme de trigonometriske funktioner for de givne vinkler.
Taylorudvidelser:Brug Taylorudvidelser til at approksimere værdierne for trigonometriske funktioner omkring bestemte punkter i deres domæne.
Specialvinkler:Kend de nøjagtige værdier for trigonometriske funktioner for kendte specialvinkler som 0 grader, 30 grader, 45 grader, 60 grader og 90 grader. Disse værdier kan bruges til at beregne værdierne for lignende vinkler ved hjælp af trigonometriske identiteter.

Eksempel på beregning af sinus uden enhedscirkel

For at illustrere en metode, der kan bruges til at beregne en trigonometrisk funktion uden en enhedscirkel, vil vi se på at finde værdien af sinus for en given vinkel, f.eks. 75 grader. Ved hjælp af trekantløsningsmetoden kan vi konstruere en trekant, hvor vinklen 75 grader er en af hjørnevinklerne. Ved at beregne forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen i denne trekant kan vi finde værdien for sinus 75 grader.

Trin 1:

Konstruer en trekant, hvor en af hjørnevinklerne er den givne vinkel, i dette tilfælde 75 grader.


		75°

Trin 2:

Bestem længden af den modsatte side og hypotenusen i trekanten. I dette tilfælde kan længden af den modsatte side være 1 (fordi vi arbejder med en enhedscirkel) og hypotenusen kan være 2 (tilfældig valgt).


	1	75°
		2

Trin 3:

Beregn forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen for at finde værdien for sinus 75 grader. I dette tilfælde vil sinus 75 grader være 1/2, da den modsatte side er 1 og hypotenusen er 2.

Dermed kan vi se, at sinus 75 grader er lig med 1/2 uden at bruge en enhedscirkel.

Konklusion

Selvom en enhedscirkel normalt bruges til at finde nøjagtige værdier for trigonometriske funktioner, er der metoder til at beregne disse værdier uden en enhedscirkel. Ved at anvende trigonometriske identiteter, trekantløsning, Taylorudvidelser og kendte specialvinkler kan man finde den præcise værdi af trigonometriske funktioner. Ved at forstå disse metoder kan man opnå en dybere forståelse af trigonometri og styrke ens evne til at løse trigonometriske problemer.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er trigonometriske funktioner?

Trigonometriske funktioner er matematiske funktioner, der beskriver forholdet mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. De mest almindelige trigonometriske funktioner er sinus, cosinus og tangens.

Hvordan kan jeg finde den præcise værdi af en trigonometrisk funktion uden en enhedscirkel?

En metode til at finde den præcise værdi af en trigonometrisk funktion uden en enhedscirkel er ved hjælp af specialværdier og instanser af vinkler, der har naturlige talværdier.

Hvad er specialværdierne for sinus, cosinus og tangens?

Specialværdierne for sinus er 0, 1/2 og 1 for vinklerne 0°, 30° og 90°. For cosinus er specialværdierne 1, √3/2 og 1/2 for vinklerne 0°, 60° og 90°. For tangens er specialværdierne 0, √3/3 og ∞ for vinklerne 0°, 30° og 90°.

Hvordan bruger jeg specialværdierne til at finde præcise værdier af trigonometriske funktioner?

Ved hjælp af specialværdierne kan du finde præcise værdier af trigonometriske funktioner ved at erstatte vinklen i funktionen med den tilsvarende specialværdi.

Hvordan beregner man den præcise værdi af sin(45°) uden en enhedscirkel?

Sin(45°) kan beregnes ved hjælp af specialværdierne. Da sin(45°) er lig med sin(30° + 15°), kan vi bruge den trigonometriske identitet sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B). Ved at erstatte A = 30° og B = 15° med de tilsvarende specialværdier, kan vi beregne sin(45°) = (1/2)(√3/2) + (√3/2)(1/2) = √2/2.

Hvad er den præcise værdi af cos(60°) uden en enhedscirkel?

Cos(60°) kan beregnes ved hjælp af specialværdierne. Da cos(60°) er lig med cos(30° + 30°), kan vi bruge den trigonometriske identitet cos(A + B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B). Ved at erstatte A = 30° og B = 30° med de tilsvarende specialværdier, kan vi beregne cos(60°) = (√3/2)(√3/2) – (1/2)(1/2) = 1/2.

Hvordan beregner man værdien af tan(135°) uden en enhedscirkel?

Tan(135°) kan beregnes ved hjælp af specialværdierne. Da tan(135°) er lig med tan(90° + 45°), kan vi bruge den trigonometriske identitet tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 – tan(A)tan(B)). Ved at erstatte A = 90° og B = 45° med de tilsvarende specialværdier, kan vi beregne tan(135°) = (∞ + 1)/(1 – ∞*1) = -1.

Hvad er sum- og differensformlerne for trigonometriske funktioner?

Sumformlerne for sinus og cosinus er sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) og cos(A + B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B). Differensformlerne er sin(A – B) = sin(A)cos(B) – cos(A)sin(B) og cos(A – B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B).

Hvordan kan jeg bruge sum- og differensformlerne til at beregne værdien af en trigonometrisk funktion?

Ved hjælp af sum- og differensformlerne kan du beregne værdien af en trigonometrisk funktion ved at erstatte de givne vinkler med sum- eller differensvinkler og bruge specialværdierne eller trigonometriske identiteter til at beregne resultatet.

Hvad er den præcise værdi af sin(75°) uden en enhedscirkel?

Sin(75°) kan beregnes ved hjælp af sumformlen sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B). Ved at erstatte A = 45° og B = 30° med de tilsvarende specialværdier kan vi beregne sin(75°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.

Andre populære artikler: Square Root of 171 • Multiples af 216 • Er 577 et primtal? • Hvad er forskellen mellem et resultat og en begivenhed? • Compound Probability • Theorem Of Total Probability • Faktorer af 1188 • Er 159 et primtal? • 11000 i tal ord • Cos 75 grader: Den nøjagtige værdi af cosinus 75 grader • Artikel: CD og GH er henholdsvis vinkeldelere for ∠ACB og ∠EGF • 125 i binært • LCM for 12, 16 og 18 – Hvordan finder man det mindste fælles multiplum? • Dybdegående artikel om Retningskosinuser og ratios af linjer • Sådan bruger du multiplikation til at kontrollere svaret på en divisionsopgave • Find omkredsen af den tilstødende figur, der er en halvcirkel, inklusive dens diameter. • Faktorer af 207 • If cot θ = 7/8, evaluering af (i) (1 • 2cosAsinB