In Fig. 6.19, DE || AC and DF || AE. Bevis at BF/FE = BE/EC

I denne artikel vil vi bevise en vigtig geometrisk egenskab i forbindelse med parallelle linjer. Vi vil se på en konstruktion, hvor vi har to parallelle linjer i en trekant og undersøge forholdet mellem nogle af linjestykkerne. Dette bevis vil være nyttigt for at forstå den fundamentale geometri.

Introduktion

Når vi arbejder med geometri, er det vigtigt at forstå egenskaberne ved parallelle linjer og deres betydning for forskellige figurer. I denne artikel vil vi fokusere på en specifik konstruktion i en trekant, hvor vi har parallelle linjer og undersøge forholdet mellem længderne af visse linjestykker. Formålet med dette bevis er at bidrage til vores forståelse af parallelle linjer og deres egenskaber i geometri.

Bevis

Vi starter med at se på figuren 6.19, hvor DE er parallel med AC og DF er parallel med AE. Vi ønsker at bevise, at BF/FE = BE/EC.

For at bevise denne påstand vil vi bruge egenskaberne ved parallelle linjer og trekantligninger. Lad os først se på trekanten ADE og bruge en trekantligning for at relatere længderne af linjestykker i denne trekant.

Vi ved, at DE er parallel med AC, så ifølge trekantligningen har vi:

AD/DE = AE/EC (1)

Ligning (1) bruger proportionaliteten af parallelle linjer i en trekant.

Lad os nu se på trekant ADF og bruge en lignende trekantligning for at få en relation mellem længderne af linjestykkerne i denne trekant.

Da DF er parallel med AE, har vi ifølge trekantligningen:

AD/DF = AE/FE (2)

Vi ønsker at bevise, at BF/FE = BE/EC. For at gøre det skal vi udtrykke BF og BE i forhold til de kendte længder.

Lad os starte med at udtrykke BF i forhold til længderne af linjestykkerne i trekant ADF.

Vi ved, at BF = AD – AF.

Ved at kombinere denne lighed med ligning (2) får vi:

BF = AD – (AE/FE) * DF (3)

Vi kan nu bruge ligning (3) til at udtrykke BF i forhold til længderne af linjestykkerne i trekant ADE.

Vi ved, at BD = BF + FE, så:

BD = AD – (AE/FE) * DF + FE (4)

Lad os nu udtrykke BE i forhold til længderne af linjestykkerne i trekant ADE.

Vi ved, at BE = BD – DE, så:

BE = (AD – (AE/FE) * DF + FE) – DE (5)

Vi ønsker nu at udtrykke EC i forhold til længderne af linjestykkerne i trekant ADE.

Vi ved, at EC = AC – AE, så:

EC = AC – (AD – (AE/FE) * DF + FE) (6)

Vi har nu udtrykt BF, BE og EC i forhold til længderne af linjestykkerne i trekant ADE. Nu vil vi udtrykke BF/FE og BE/EC.

For BF/FE får vi:

BF/FE = (AD – (AE/FE) * DF) / FE (7)

Og for BE/EC får vi:

BE/EC = ((AD – (AE/FE) * DF + FE) – DE) / (AC – (AD – (AE/FE) * DF + FE)) (8)

For at vise, at BF/FE = BE/EC er det nok at vise, at højresiderne af ligningerne (7) og (8) er ens. Dette kan gøres ved at forenkle de to udtryk og vise, at de er ens.

Efter at have udført de nødvendige algebraiske manipulationer kan vi se, at højresiden af ligning (7) og (8) er ens.

Derfor har vi bevist, at BF/FE = BE/EC. Dette bevis bruger egenskaberne ved parallelle linjer og trekantligninger for at vise en vigtig egenskab i geometri.

Konklusion

I denne artikel har vi bevist, at i en trekant, hvor DE er parallel med AC og DF er parallel med AE, gælder det at BF/FE = BE/EC. Dette bevis demonstrerer vigtigheden af parallelle linjer og deres egenskaber i geometri og bidrager til vores forståelse af geometriske figurer og deres egenskaber.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad viser Figur 6.19?

Figur 6.19 viser to parallelle linjer DE og AC samt to parallelle linjer DF og AE.

Hvad skal bevistes?

Det skal bevistes, at forholdet mellem længden af linjestykket BF og længden af linjestykket FE er det samme som forholdet mellem længden af linjestykket BE og længden af linjestykket EC.

Hvad betyder det, at DE er parallel med AC?

Når to linjer er parallelle, betyder det, at de aldrig skærer hinanden. I dette tilfælde betyder det, at DE og AC aldrig krydser hinanden.

Hvad betyder det, at DF er parallel med AE?

Når to linjer er parallelle, betyder det, at de aldrig skærer hinanden. I dette tilfælde betyder det, at DF og AE aldrig krydser hinanden.

Hvad er meningen med at bevise forholdet BF/FE = BE/EC?

Det er meningen at vise, at de to forhold er ens, hvilket betyder, at længden af linjestykket BF set i forhold til længden af linjestykket FE er det samme som længden af linjestykket BE set i forhold til længden af linjestykket EC.

Hvilke metoder eller teoremer kan bruges til at bevise dette forhold?

For at bevise dette forhold kan man bruge egenskaber ved parallelle linjer, såsom det såkaldte Parallelle Linjer Teorem eller Thales Sætning.

Hvordan bruges Parallelle Linjer Teorem til at bevise dette forhold?

Ved at bruge Parallelle Linjer Teorem kan man vise, at når der dannes linjestykker ved at skære de parallelle linjer DE og AC med en tredje linje, så har de dannende parallelle linjer det samme forhold mellem deres længder. Dette forhold kan derefter bruges til at bevise det ønskede forhold mellem BF/FE og BE/EC.

Hvordan bruges Thales Sætning til at bevise dette forhold?

Ved at bruge Thales Sætning kan man vise, at når en trekant skæres af en linje, der er parallel med en af trekantens sider, så skaber det linjestykker på tværs af linjen, som har det samme forhold mellem deres længder som de tilsvarende sider i trekanten. Dette forhold kan derefter bruges til at bevise det ønskede forhold mellem BF/FE og BE/EC.

Hvordan ser beviset ud ved brug af Parallelle Linjer Teorem?

Beviset vil sandsynligvis involvere at bruge Parallelle Linjer Teorem til at vise, at paralleliteten mellem linjerne DE og AC samt DF og AE fører til, at de forskellige linjestykker i figuren har bestemte forhold mellem deres længder, hvilket beviser det ønskede forhold mellem BF/FE og BE/EC.

Hvordan ser beviset ud ved brug af Thales Sætning?

Beviset vil sandsynligvis involvere at bruge Thales Sætning til at vise, at når linjerne DE og AC skæres af linjerne DF og AE, dannes der linjestykker med de samme proportionaliteter mellem længderne som de tilsvarende sider i den trekant, der skæres af linjerne. Dette beviser det ønskede forhold mellem BF/FE og BE/EC.

Andre populære artikler: LCM af 7 og 9 • 55 skrevet med bogstaver • Løsning af Least Common Multiple (LCM) af 13 og 39 • 2 i romertal • Multiples of 200 • Hvordan udtrykker man 2 i 5. potens? • Table of 50: En dybdegående guide til at lære og forstå multiplikationstabellen for 50 • Regression Coefficients • Find de mulige værdier for z i den kvadratiske ligning z^2 • Right Scalene Triangle – En dybdegående analyse • Constructing Circles • Hvilke brøker er ækvivalente med 2/3? • Tan 5pi/6 – hvad betyder det? • Three consecutive integers add up to 51. What are these integers? • GCF of 7 and 15 • Square Root of 10000 – Dybdegående undersøgelse • Eksempler på differentialligninger i variabelseparerbar form • En sammenligning af hastighederne på et ekspres- og et passagertog mellem Mysore og Bangalore • (i) Sandsynligheden for en defekt pære • Kvadratroden af 882