In parallelogrammet ABCD er to punkter P og Q taget på diagonalen BD, således at DP = BQ
Et parallelogram er en firkant, hvor modstående sider er parallelle og ligelange, og hvor modstående vinkler er lig store. I dette tilfælde ser vi på parallelogrammet ABCD, hvor diagonalen BD skærer hinanden i to punkter, P og Q. Det er givet, at længden af DP er lig længden af BQ.
Vinklerne Δ APD og Δ CQB er ens
Vi vil først bevise, at trekanten Δ APD er lig med trekanten Δ CQB. For at gøre dette vil vi bevise, at vinklerne i de to trekanter er ens.
Da ABCD er et parallelogram, er vinklerne A og C supplerende, dvs. de tilføjer op til 180 grader. Dette skyldes, at modstående vinkler i et parallelogram er lig med hinanden.
Da diagonalen BD skærer hinanden, er vinklerne Δ ADP og Δ BCQ også supplerende. Derfor er vinklerne i de to trekanter Δ APD og Δ CQB ens.
Sidelængderne AP og CQ er lig
For at bevise dette vil vi vise, at sidelængderne AP og CQ er ens i de to trekanter.
Da vi ved, at punktet P ligger på diagonalen BD og at DP = BQ, kan vi bruge denne information til at bevise, at AP = CQ. Vi kan gøre det ved at bevise, at trekanten Δ ADP er kongruent med trekanten Δ BCQ.
Vi ved allerede, at vinklerne Δ APD og Δ CQB er ens. Ved hjælp af SSS kriteriet for kongruens, kan vi også bevise, at sidelængderne AP og CQ er ens. Dette skyldes, at DP = BQ og AD = BC, da de er parallelle sider i parallelogrammet ABCD.
Trekanten Δ AQB er kongruent med trekanten Δ CPD
Vi vil nu bevise, at trekanten Δ AQB er kongruent med trekanten Δ CPD.
Igen kan vi bruge SSS kriteriet for kongruens til at bevise, at sidelængderne AQ og CP er ens. Da vi ved, at vinklerne Δ AQB og Δ CPD er ens, og at sidelængderne AQ og CP er ens, kan vi konkludere, at trekanten Δ AQB er kongruent med trekanten Δ CPD.
APCQ er et parallelogram
Endelig vil vi bevise, at APCQ er et parallelogram.
For at bevise dette vil vi vise, at siderne AP og CQ er parallelle og ligelange, og at siderne AQ og CP er parallelle og ligelange.
Vi ved allerede fra tidligere beviser, at siderne AP og CQ er ligelange og at vinklerne Δ APD og Δ CQB er ens. Derfor er siderne AP og CQ også parallelle.
Vi har også bevist, at siderne AQ og CP er ligelange og at vinklerne Δ AQB og Δ CPD er ens. Så siderne AQ og CP er også parallelle.
Da APCQ opfylder betingelserne for et parallelogram, kan vi konkludere, at APCQ er et parallelogram.
Konklusion
I denne artikel har vi bevist, at i parallelogrammet ABCD, hvor diagonalen BD skærer hinanden ved punkterne P og Q, og DP = BQ, gælder følgende:
- Δ APD er kongruent med Δ CQB
- AP = CQ
- Δ AQB er kongruent med Δ CPD
- AQ = CP
- APCQ er et parallelogram
Disse egenskaber er nyttige, når man arbejder med parallelogrammer og diagonalernes egenskaber. De kan bruges til at forenkle geometriske beviser og problemløsning.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er en parallelogram?
Hvad er diagonalen i en parallelogram?
Hvad betyder det, når det siges, at to punkter på diagonalen i et parallelogram er taget således, at afstanden mellem dem er den samme?
Hvad er det, der skal vises i dette problem med parallelogrammet ABCD?
Hvad betyder det at vise, at ΔAPD ≅ ΔCQB?
Hvad betyder det at vise, at AP = CQ?
Hvad betyder det at vise, at ΔAQB ≅ ΔCPD?
Hvad betyder det at vise, at AQ = CP?
Hvad betyder det at vise, at APCQ er en parallelogram?
Hvad er betydningen af at bevise alle de nævnte ligheder og relationer?
Andre populære artikler: Cosine Calculator • LCM of 18 and 54 • Square Root of 1225 • Radius af en Cylinder Kalkulator • NCERT-løsninger Klasse 7 Matematik Kapitel 3 Øvelse 3.3 Datahåndtering • Hvad er sandsynligheden for en umulig begivenhed? • LCM of 28 and 32: Hvordan finder man det mindste fælles multiplum? • Cube rod af 88 • To aeroplanes flying in different directions • Hvad er den additive inverse af -7? • Direct Variation Calculator – En dybdegående guide • 2-cifret Addition med Ombytning – Arbejdsark • Den bedste nummer til at fuldføre følgende sekvens er • Er 92 et primtal? • Hvilken af følgende viser den maksimale stigning i temperatur • LCM af 45 og 54 • GCF af 40 og 72 • Tegn et linjestykke med længden 9,5 cm og konstruér dens vinkelrette midtnormal • GCF af 36 og 99 • Hvad er 1 2 3 4 5 6 7 8 9?