Løsning af andengradsligningen ved at fuldføre firkanten

Andengradsligninger er en type ligninger, der involverer andengradspolynomier, hvor den højeste potens er 2. For at finde løsningerne til en andengradsligning kan man bruge forskellige metoder, herunder fuldførelse af firkanten. I denne artikel vil vi udforske, hvordan man løser ligningen x^2 + 12x = -11 ved at fuldføre firkanten og finde den korrekte løsningsmængde.

Hvad er fuldførelse af firkanten?

Fuldførelse af firkanten er en metode til at omskrive en andengradsligning i en kvadratisk udtryksform, som kan løses ved at tage kvadratroden af begge sider af ligningen. Denne metode er nyttig, når koefficienten af førstegradsleddet er ulige. Ved at tilføje og trække et passende tal kan vi omformulere ligningen og finde det perfekte kvadrat udtryk.

Løsning af x^2 + 12x = -11 ved fuldførelse af firkanten

Vi starter med ligningen:

x^2 + 12x = -11

For at fuldføre firkanten tilføjer og trækker vi det kvadrat af halvdelen af førstegradsleddet:

x^2 + 12x + (12/2)^2 = -11 + (12/2)^2

x^2 + 12x + 36 = -11 + 36

x^2 + 12x + 36 = 25

Herefter kan vi omskrive venstresiden af ligningen som et perfekt kvadrat:

(x + 6)^2 = 25

Ved at tage kvadratroden af begge sider får vi:

x + 6 = ±√25

x + 6 = ±5

Vi isolerer x ved at trække 6 fra begge sider:

x = -6 ± 5

Dette giver os to løsninger:

x = -6 + 5 = -1

x = -6 – 5 = -11

Løsningsmængden for ligningen x^2 + 12x = -11

Løsningsmængden for ligningen er givet ved sættet af værdier for x, der opfylder ligningen. I dette tilfælde er løsningsmængden {-11, -1}. Dette betyder, at de to værdier, -11 og -1, er de eneste værdier af x, der gør ligningen sand.

Konklusion

Den fuldførelse af firkanten er en metode, der kan bruges til at løse andengradsligninger, hvor førstegradsleddets koefficient er ulige. Ved at tilføje og trække det kvadrat af halvdelen af førstegradsleddet kan vi omskrive ligningen til en kvadratisk form, som kan løses ved at tage kvadratroden af begge sider. I eksemplet med ligningen x^2 + 12x = -11 fandt vi løsningsmængden til at være {-11, -1}. Ved at forstå og anvende denne metode kan vi løse ligninger på en effektiv måde.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er den fulde ligning, der skal løses i dette spørgsmål?

Den fulde ligning, der skal løses i dette spørgsmål er x² + 12x = -11.

Hvordan kan man finde løsningen på denne ligning ved hjælp af metoden completing the square?

For at finde løsningen ved at fuldføre andengradsligningen skal vi først sørge for, at koefficienten foran x² er 1. Derefter vil vi tilføje og trække en konstant på højre side af ligningen, således at venstre side kan omskrives som en kvadratisk binom.

Hvad er den nøjagtige fremgangsmåde for at fuldføre andengradsligningen i dette tilfælde?

Vi skal først sørge for, at koefficienten foran x² er 1. Derefter vil vi tilføje og trække en konstant på højre side af ligningen, således at venstre side kan omskrives som en kvadratisk binom. I dette tilfælde ser det sådan ud: x² + 12x = -11, omskrives til (x + 6)² – 36 = -11.

Hvad gør vi derefter for at isolere x i ligningen?

Vi kan isolere x ved at tilføje 36 til begge sider af ligningen, fordi vi ønsker at have (x + 6)² alene på venstre side. Den resulterende ligning er: (x + 6)² = 25.

Hvilke mulige løsninger kan vi få ud af denne ligning?

Når vi ser på ligningen (x + 6)² = 25, er der to mulige løsninger: x + 6 = 5 og x + 6 = -5.

Hvad er de specifikke løsninger, som vi får ved at løse de to mulige løsninger?

Ved at løse x + 6 = 5 får vi x = -1. Ved at løse x + 6 = -5 får vi x = -11.

Hvad betyder disse løsninger for den oprindelige ligning?

De to løsninger, x = -1 og x = -11, repræsenterer de værdier af x, der gør det muligt for den oprindelige ligning x² + 12x = -11 at være sande.

Hvordan kan vi kontrollere gyldigheden af disse løsninger?

Vi kan kontrollere gyldigheden af disse løsninger ved at indsætte dem tilbage i den oprindelige ligning og se, om venstre og højre side af ligningen stemmer overens. For eksempel: Når vi indsætter x = -1 i den oprindelige ligning, får vi (-1)² + 12(-1) = -11, hvilket er sandt.

Hvordan kan vi repræsentere løsningsmængden grafisk?

Vi kan repræsentere løsningsmængden grafisk ved at plotte parret af løsninger, (-1, -11), på en graf. Dette giver os to punkter, der ligger på parabolen tegnet af x² + 12x = -11.

Hvilken af de fire mulige løsningsmængder, {-11, -1}, {-11, 1}, {11, -1}, {11, 1}, er den korrekte løsningsmængde til denne ligning?

Ingen af de fire mulige løsningsmængder er korrekte. Den korrekte løsningsmængde er {-11, -1}, da vi fandt ud af, at x kan være enten -11 eller -1 for at gøre ligningen sand.

Andre populære artikler: Factors of 616 • Vector Quantities • Right Rectangular Prism: Hvad er volumen og overfladeareal? • NCERT Solutions Class 7 Maths Kapitel 2 Øvelse 2.3 Brøker og decimaltal • GCF of 16 and 100: Hvad er den største fælles divisor? • Multiplicerende Binomiale: En dybdegående gennemgang • Table of 1000: En omfattende og detaljeret guide til multiplikationstabellen op til 1000 • Perfect Cube: Hvad det er og hvordan man identificerer det • Interior Angles Of Polygon Calculator • Udførlig undersøgelse af parallelogrammer og bestemmelse af ukendte værdier • Multiplication Word Problems Worksheets • GCF af 13 og 39: Den største fælles faktor • Integralet af |x| – Hvad er det? • Sine Calculator • The angle is less than 180 degrees, but more than 90 degrees. • Lines of Symmetry Worksheets • Forskellen mellem Areal og Volumen • CXXXIV Romertal • MCMXLII Roman Numerals – En dybdegående undersøgelse • Roman Numerals 1 til 40