Optimering af vinduesdimensioner for optimal belysning
Indledning:
I denne artikel vil vi udforske problemet med at finde de optimale dimensioner for et vindue for at maksimere mængden af lys, der trænger igennem hele åbningen. Vinduet har formen af en rektangel med en halvcirkelformet åbning på toppen. Målet er at finde de dimensioner, der resulterer i den størst mulige åbning og dermed mest lysindfald, samtidig med at det samlede omkreds af vinduet er 10 m.
Omkredsen af vinduet
For at begynde vores undersøgelse af dette problem, er det vigtigt at definere formlen for omkredsen af vinduet. Da vinduet er sammensat af en rektangel og en halvcirkel, kan vi bruge følgende ligning:
Omkreds = Længde + Bredde + Halvcirkelens omkreds
Hvor længden og bredden er siderne af rektanglet, og halvcirklen er den halve omkreds af åbningen på toppen.
Omkredsens begrænsninger
Ud fra problemformuleringen ved vi, at den samlede omkreds af vinduet er 10 m. Dette giver os en begrænsning, som vi kan bruge til at finde de mulige dimensioner for vinduet.
Vi kan repræsentere omkredsen ved følgende ligning:
Omkreds = Længde + Bredde + (π * Radius)
Her er det vigtigt at bemærke, at for at finde radius af halvcirklen, skal diameteren ved toppen af vinduet være lig med bredden af rektanglet.
Maximere lysets passage gennem vinduet
Vores næste skridt er at finde de optimale dimensioner for vinduet, der vil maksimere lysets passage gennem vinduet.
Da lyset påvirkes af den reflekterede og refrakterede stråling, er det ideelle vindue et, der tillader, at mest muligt lys går igennem uden noget tab eller refleksion.
Da lyset bevæger sig ligeud i en lige linje, vil den maksimale mængde lys passerer direkte gennem rektanglet. Derfor er nøglen til at maksimere lysets passage igennem vinduet at finde de dimensioner, der resulterer i den største rektangulære åbning.
At finde den størst mulige rektangulære åbning
For at finde de dimensioner, der vil medføre den største rektangulære åbning, er det nødvendigt at løse denne optimeringsopgave. Vi kan opstille funktionen, der beskriver bredden af rektanglet som en funktion af længden og omkredsen.
Funktionen for bredden af rektanglet
Vi kan repræsentere funktionen for bredden af rektanglet som følgende:
Bredde = (Omkreds – 2 * Længde) / 2
Da vi ved, at omkredsen er 10 m, kan vi substituere det ind i funktionen:
Bredde = (10 – 2 * Længde) / 2
For at finde den størst mulige bredde, skal vi differentiere funktionen og finde dens ekstremværdier.
At finde den størst mulige bredde
Ved at differentiere funktionen får vi:
Bredde = -2/2
For at finde ekstremværdierne sætter vi differentialregningen lig med nul:
Bredde = 0
Da differentialet er -1, er der ingen reelle løsninger til denne ligning. Dette betyder, at der ikke er nogen maksimal bredde for rektanglen, og dermed ingen maksimal lysindgang gennem vinduet via rektangulær åbning.
Når lyset passerer gennem halvcirklen
Da der ikke er en løsning til at maksimere lysindgangen gennem en rektangulær åbning, skal vi overveje lysets passage gennem halvcirklen. For at gøre dette, skal vi arrangere en ligning, der repræsenterer arealet af halvcirklen som funktion af radien.
Funktionen for arealet af halvcirklen
Arealet af en halvcirkel kan repræsenteres som følgende:
Areal = π * Radius^2 / 2
Da vi har en begrænsning på omkredsen, kan vi substituere udtrykket for omkredsen og isolere radius:
Radius = (Omkreds – Længde – Bredde) / π
Substituering af omkredsen fra problemformuleringen giver:
Radius = (10 – Længde – Bredde) / π
Ligeledes kan vi substituere udtrykkene for bredde og længde:
Radius = (10 – Længde – (10 – 2 * Længde) / 2) / π
Som kan forenkles til:
Radius = (2 * Længde) / (2π – 1)
Nu kan vi finde arealet af halvcirklen som funktion af længden.
Funktionen for arealet af halvcirklen
Arealet af halvcirklen kan repræsenteres som funktionen:
Areal = π * ((2 * Længde) / (2π – 1))^2 / 2
Vi kan forenkle denne funktion yderligere for at lette analyse og potentielt finde den maksimale værdi for arealet.
Vi kan begynde ved at kvadrere hele udtrykket inden i parentesen:
Areal = π * (4 * Længde^2) / ((2π – 1)^2 * 2)
Nu kan vi reducere brøken ved at forenkle (2π – 1)^2:
Arealet = π * (4 * Længde^2) / (4π^2 – 4π + 1) * 2
Som forenkler til:
Arealet = 2 * Længde^2 / (4π – 4 + 1)
Yderligere simplificering giver os:
Arealet = 2 * Længde^2 / (4π – 3)
Nu har vi funktionen for arealet af halvcirklen som funktion af længden af rektanglet, og vi kan bruge denne funktion til at finde den maksimale værdi for arealet.
At finde den størst mulige værdi for halvcirkelens areal
For at finde den største værdi for arealet kan vi differentiere funktionen:
Arealet = 4 * Længde / (4π – 3)
For at finde ekstremværdierne sætter vi differentialet lig med nul:
Arealet = 0
Vi løser ligningen:
(4 * Længde) / (4π – 3) = 0
Løsningen til denne ligning er Længde = 0. Dette betyder, at arealet er nul, og derfor er der ingen maksimal værdi for arealet af halvcirklen.
Konklusion
Efter at have analyseret problemet med at finde de optimale dimensioner for vinduet for at maksimere lysindgangen gennem hele åbningen, er det blevet konkluderet, at der ikke er nogen maksimal løsning, der kan opnås ved at justere dimensionerne af vinduet.
Selvom der ikke er fundet en konkret løsning, vil dette studie være nyttigt for at forstå betydningen af dimensioner i forhold til lysindgangen i et vindue. Yderligere undersøgelser kan være behov for at finde alternative metoder til at maksimere lysindgangen gennem et sådant vindue.
Udover det teoretiske aspekt kan denne artikel også være værdifuld for arkitekter, bygningsingeniører og alle, der er involveret i design og konstruktion af vinduer, idet den giver en dybere forståelse af kompleksiteterne i at optimere lysindgangen.
Forhåbentlig vil dette studie hjælpe med at øge bevidstheden om, hvordan vinduesdesign og dimensioner kan påvirke lysfornyelse i bygninger og bidrage til at skabe mere behagelige og belyste rum.
Ofte stillede spørgsmål
Hvordan ser vinduet ud?
Hvad er den samlede omkreds af vinduet?
Hvad ønsker vi at finde ud af om vinduet?
Hvordan kan vi beskrive dimensionerne af vinduet?
Hvad er forbindelsen mellem bredden, højden og radius af vinduet?
Hvordan kan vi formulere et maksimeringsproblem baseret på dette?
Hvordan kan vi bruge matematik til at løse dette problem?
Hvad er funktionen for mængden af lys, der kommer ind gennem åbningen?
Hvordan kan vi finde de optimale dimensioner ved anvendelse af differentiering?
Hvad er de endelige dimensioner af vinduet, der tillader maksimalt lysgennemtrængning?
Andre populære artikler: GCF af 12 og 60 • Løs følgende ligning: 9x / (7 – 6x) = 15 • Find punktet på x-aksen, som er lige langt væk fra (2, -5) og (-2, 9) • Square Root of 1521 • Hvad er 1/4 af 12? • Temperaturen er faldet 15 grader Celsius på de seneste 30 dage • Forskel mellem rektangel og parallellogram • Y = 4x – 10, Y = 2 – Hvad er løsningen på systemet af ligninger? • Dividing Radicals Worksheets • Deduktiv logik i matematik: En grundig forståelse • Prove the following: cot x cot 2x • Find det mindste tal, som ved division med 6, 15 og 18 giver en rest på 5 i hvert tilfælde • Hvad er x opløftet i anden gange x opløftet i anden? • Compound Interest Half Yearly Formula • Hvad er toppunktet for grafen af y = 5(x 4)2 3? • Sammenligning af de afstande, der er dækket af Sweety og Bulbul • MML Romertal: En dybdegående introduktion • Udregning af arealet af en legeplads baseret på diameteren og længden af en rulle • Volume of a Square Pyramid • Faktorerne af 137