datadybder.dk

Verify the identity cos (x – y) – cos (x + y) = 2 sin x sin y

Den trigonometriske identitet cos (x – y) – cos (x + y) = 2 sin x sin y er et udfordrende emne inden for trigonometri. Denne identitet kan anvendes til at forenkle komplekse udtryk og opdage sammenhænge mellem forskellige trigonometriske funktioner. I denne artikel vil vi udforske denne identitet mere dybtgående og demonstrere, hvordan den kan verificeres.

Introduktion til identiteten

Før vi begynder at bevise denne identitet, er det vigtigt at forstå de trigonometriske funktioner, der er involveret. Vi har cosinusfunktionen (cos), som repræsenterer forholdet mellem længden af den nærliggende katete og hypotenusen i en retvinklet trekant. Vi har også sinusfunktionen (sin), som repræsenterer forholdet mellem længden af den modsatte katete og hypotenusen i en retvinklet trekant.

Identiteten cos (x – y) – cos (x + y) = 2 sin x sin y kombinerer både cosinus og sinusfunktioner i et udtryk. Dette udtryk kan forenkles ved hjælp af trigonometriske værdier, identiteter og algebraiske manipulationer.

Bevismetode

For at verificere identiteten cos (x – y) – cos (x + y) = 2 sin x sin y, vil vi starte med venstresiden af identiteten, dvs. cos (x – y) – cos (x + y), og derefter forsøge at forenkle den, så den matcher højresiden af identiteten, dvs. 2 sin x sin y.

Vi vil bruge de trigonometriske identiteter for cosinusfunktionen og sinusfunktionen til at forenkle udtrykket. Her er nogle af de vigtigste identiteter, vi vil bruge:

  • cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
  • cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b
  • sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
  • sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b

Vi vil anvende disse identiteter gentagne gange og udføre algebraiske manipulationer for at demonstrere, at venstresiden af identiteten er ækvivalent med højresiden af identiteten.

Beviset

  1. Vi starter med venstresiden af identiteten: cos (x – y) – cos (x + y)
  2. Vi anvender identiteten cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b til det første led og får: (cos x cos y + sin x sin y) – cos (x + y)
  3. Derefter anvender vi identiteten cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b til andet led og får: (cos x cos y + sin x sin y) – (cos x cos y – sin x sin y)
  4. Vi ganger udtrykkene ud og får: cos x cos y + sin x sin y – cos x cos y + sin x sin y
  5. Vi ser nu, at de midterste led (sin x sin y og -sin x sin y) udjævner hinanden, så udtrykket reduceres til: cos x cos y + sin x sin y – cos x cos y + sin x sin y = 2 sin x sin y
  6. Dette matcher højresiden af identiteten, hvilket beviser, at identiteten cos (x – y) – cos (x + y) = 2 sin x sin y er korrekt.

Konklusion

I denne artikel har vi udforsket den trigonometriske identitet cos (x – y) – cos (x + y) = 2 sin x sin y. Vi har bevist identiteten ved hjælp af trigonometriske værdier, identiteter og algebraiske manipulationer. Identiteten kan være nyttig til at forenkle udtryk og opdage sammenhænge mellem trigonometriske funktioner. Ved at forstå denne identitet kan man styrke sin viden inden for trigonometri og anvende den til mere komplekse problemer.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er identiteten cos (x – y) – cos (x y)?

Identiteten cos (x – y) – cos (x y) = 2 sin x sin y er en trigonometrisk identitet, der beskriver en relation mellem cosinus- og sinusfunktionerne.

Hvordan kan man forklare denne identitet?

Identiteten kan bevises ved brug af de trigonometriske additionsformler. Først udvides cos (x y) ved brug af additionsformlen: cos (x y) = cos x cos y – sin x sin y. Derefter erstattes cos (x – y) og cos (x y) i udtrykket, hvilket resulterer i: cos (x – y) – cos (x y) = cos x cos y + sin x sin y – cos x cos y + sin x sin y = 2 sin x sin y.

Kan denne identitet anvendes til beregninger eller lignende?

Ja, denne identitet kan anvendes til at forenkle udtryk med cosinus og sinus eller til at bevise andre trigonometriske relationer.

Kan du vise et eksempel på, hvordan denne identitet kan anvendes i en beregning?

Selvfølgelig! Lad os sige vi har udtrykket cos (45° – 30°) – cos (45° + 30°) og ønsker at forenkle det. Vi kan bruge identiteten til at omskrive udtrykket som: 2 sin 45° sin 30° = 2 (1/√2) (1/2) = 1.

Hvad er betydningen af hver del af identiteten?

I identiteten cos (x – y) – cos (x y) = 2 sin x sin y er cos (x – y) differensen mellem cosinusværdierne af x og y, cos (x y) produktet af cosinusværdierne af x og y, og 2 sin x sin y er dobbeltproduktet af sinusværdierne af x og y.

Kan denne identitet bruges til at løse geometriske problemer?

Ja, identiteten kan anvendes til at simplificere og løse ligninger eller udtryk, der indeholder cosinus og sinus. Hvis man har en ligning, der involverer udtrykket cos (x – y) – cos (x y), kan man bruge identiteten til at forenkle og finde en løsning.

Hvordan kan identiteten bevises matematisk?

For at bevise identiteten cos (x – y) – cos (x y) = 2 sin x sin y kan vi bruge de trigonometriske additionsformler. Ved at udvide cos (x y) og erstatte det i udtrykket opnås den ønskede ligevægt.

Kan identiteten udvides til andre trigonometriske funktioner?

Ja, identiteten kan udvides til at omfatte andre trigonometriske funktioner. For eksempel kan cos (x – y) – cos (x y) også skrives som 2 cos x cos y, når sinusfunktionerne erstattes af cosinusfunktioner.

Findes der andre trigonometriske identiteter, der ligner denne?

Ja, der er flere trigonometriske identiteter, der involverer cosinus og sinus. Nogle eksempler inkluderer cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y og sin (2x) = 2 sin x cos x.

Kan identiteten generaliseres til flere variable?

Identiteten cos (x – y) – cos (x y) = 2 sin x sin y kan ikke generaliseres direkte til flere variable, da den specifikt beskriver forskellen mellem to vinkler og deres produkt. Imidlertid kan der være lignende identiteter, der gælder for flere variable i visse sammenhænge.

Andre populære artikler: 9-gange-tabellen-arbejdsark • HCF of 5, 15 and 20 • Faktorer af 3 • Least Common Multiple (LCM) af 28, 36, 45 og 60 • HCF af 612 og 1314: En dybdegående undersøgelse • What do a quadrilateral and a pentagon have in common? • Hvad tid er 20 timer? • Solve For x Calculator • Factoren af 588 • NCERT-løsninger Klasse 10 Matematik Kapitel 8 Introduktion til trigonometri • Sannsynligheten for å få hode på den ene mynten og mynt på den andre mynten • Hvad er LCM af 32 og 45? • Triangle Inequality i Vektorer • Hvordan udtrykker man 10 i 10. potens? • Artikel: HCF af 7 og 9 • Multiples af 225 • GCF af 16 og 48 • Algebraiske udtryk: øvelser med svar og arbejdsark • MXXXIV Romertal: En Dybdegående Introduktion • Cube Root of 63